Décomposition en série de Fourier – produit de fonctions

[invitea774bcd7]

Bonjour à tous

Imaginons deux fonctions f(x) et g(x) toutes deux décomposées en série de Fourier jusqu'à un ordre maximal N :




Je m'intéresse maintenant au produit f(x).g(x). Première chose qui me gène : en faisant le produit des séries ci-dessus, j'obtiens une série qui va maintenant de à Donc un développement qui sort de l'intervalle que je m'étais fixé pour mes décompositions en série…

Cette fonction f(x).g(x), je peux l'appeler h(x) et c'est alors une fonction de x comme une autre que je peux de nouveau développer en série de fourier :



Je ne pense pas qu'il y ait de relations entre les et les

Je suis perdu entre ces deux points de vue pour h(x)=f(x).g(x) :
1) Produit de deux séries me donnant une série
2) Fonction de x comme une autre me donnant une série

Voyez-vous mon dilemme ?

Merci d'avance
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[Arkhnor]

Bonjour.

Tu es en train de multiplier deux polynômes trigonométriques, il est normal que le degré du produit soit supérieur aux degrés des facteurs, c'est comme le degré des polynômes usuels ...

De toute manière, tu as une expression, tu calcules le produit et tu tombes sur une somme allant de -2N à +2N, pour quelles raisons aurait-tu le droit de supprimer les termes de N à 2N ? ...

[invitea774bcd7]

pour quelles raisons aurait-tu le droit de supprimer les termes de N à 2N ? ...

J'ai pas dit ça.
Si tu préfères, je tombe sur deux situations différentes selon si :

– je décompose en série d'abord f et g et ensuite fais le produit f.g
– je fais d'abord le produit f.g et ensuit décompose en série le résultat.

[invite4793db90]

Salut,

il n'y a rien de surprenant à ce que l'approximation soit meilleure lorsque tu formes le produit des décompositions que lorsque tu décomposes le produit.

Raison pour laquelle il est bon d'écrire les formules avec une estimation de l'erreur commise.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

En même temps, je viens d'écrire une c***rie car on pourrait envisager des cas où la décomposition du produit est meilleure que le produit des décompositions.

Bref, la conclusion restait vraie : il te faut mesurer l'erreur commise.

Cordialement.

[invitea774bcd7]

C'est pas une question de précision mais de consistance…

Je peux essayer de rentrer un peu plus dans les détails de mon problème : j'ai des équations faisant intervenir des fonctions développées en série de Fourier. Cette décomposition en série de Fourier me donne un système d'équations en fait après identification terme à terme des .

Problème : à gauche du signe égal j'ai que des fonctions simples qui me donnent 2N+1 équations mais à droite du signe égal j'ai un produit de fonction qui me donne donc 2(2N)+1 équations…

C'est donc bancal, j'ai un système surdéterminé (2N+1 inconnues mais 4N+1 éqautions…) Y a quelque chose qui va pas…

[invite5a094290]

ça c'est le retour à la définition.
Mais tu peux aussi montrer que l'application est continue par ce qu'elle est somme de deux fonctions continues.
Tu peux aussi considérer chaque terme de la somme comme composée de deux applications.
Creuse un peu ça.



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[Médiat]

Il me semble que la bonne question est de se demander quelle est la validité des termes de degré supérieur à N, par exemple le terme en N+1 s'obtient par le produit d'un terme en N et d'un terme en 1, si les deux fonctions de départ avait été approché avec des termes en (N+1), dans le produit on aurait eu les termes précédents + les produit d'un terme en (N+1) et d'un terme en 0 ; et pour 2N la différence est encore plus flagrante.

[GrisBleu]

Voyez-vous mon dilemme ?

Salut

Je pense voir d'ou vient ton dilemme. Ton probleme vient quand tu dis que les composantes frequentielles de h sont limites par -N et N. c'est faux, tu le montres juste avant.
En faisant le produit de tes fonctions, tu convolues leur coefficients de fourier. Une convolution, ca lisse et ca etale
Si tu veux rester entre -N et N, il te faut une convolution circulaire (attention au repliage)
++

[invitea774bcd7]

Pour ceux à qui ça parle, le problème dont je parle est la résolution des équations de Maxwell dans un réseau. Les champs et la fonction diélectrique du matériau sont développées en série de Fourier mais ce système d'équations différentielles surdéterminé que j'obtiens à cause de ce que j'ai présenté dans ce fil me laisse perplexe (je me demande quoi faire des équations en trop en fait, tout simplement )

[GrisBleu]

Salut

Prend un exemple bete: sin(w t) cos (wt) = 0.5sin(2wt) -> tu vois bien que des frequences plus elevees apparaissent.
Maintenant, sur ton reseau, tu as des conditions aux limites de quelles genres ? periodiques ?
++