Démo sur la décomposition en serie de Fourier.

[invitedb95803b]

Bonjours tout le monde!
J'aimerais savoir quelle est la demonstration que tout signal periodique y(t) de periode T peut se décomposer en:


Avec





Merci d'avance!
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[invite57a1e779]

Bonjour,

J'aimerais savoir quelle est la demonstration que tout signal periodique y(t) de periode T peut se décomposer en:
...

Il faut imposer des conditions de régularité au signal pour pouvoir le décomposer en série de Fourier.

[invitedb95803b]

Et quelle conditions? La periodicité ne suffit pas?

[invite57a1e779]

Et quelle conditions? La periodicité ne suffit pas?

Soit la somme partielle de la série de Fourier de . On a



On pose , de telle sorte que .
On peut alors écrire ,
puis

Mais on a alors besoin d'hypothèses sur pour pouvoir montrer que cette intégrale tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb95803b]

Ah ok! mais j'arrive pas trop à analyser quelles doivent être les hypothèses sur y. Il suffira que je suppose au début de la démo que ces hypothèses sont verifiées. Est ce que vous pouvez me les dire SVP?

[invite57a1e779]

Ah ok! mais j'arrive pas trop à analyser quelles doivent être les hypothèses sur y. Il suffira que je suppose au début de la démo que ces hypothèses sont verifiées. Est ce que vous pouvez me les dire SVP?

Il y a divers types de conditions suffisantes, mais donc aucune n'est nécessaire à la convergence de la série. Les plus courantes sont celles établies par Dini, Jordan et de la Vallée-Poussin.

La plus simple reste la condition de Dirichlet : est continue et dérivable, sauf en un nombre fini de points en lesquels et sa dérivée ont des limites à droite et à gauche.

[invitedb95803b]

D'accord. Mais le problème c'est que moi je fait ça sur un signal crénau Donc il n'est pas continue ni dérivable partout. Mais est ce qu'on peut dans ce cas se placer sur [a,a+T] et considerer qu'il est non dérivable est non continu sur un nombre fini de point? Si c'est le cas est ce que je peux avoir la fin de la demo (prouver que Sn-y(t) tend vers 0).