Justification d'une décomposition/transformée(de Fourier)

[invite3e5ede0a]

Bonjour,

En physique, on exprime souvent un objet physique comme une somme (continue ou discrète) d'objets non-physiques, mais plus simples à manipuler mathématiquement. Le cas le plus fréquent est la transformée de Fourier, qui décompose un signal en une somme d'harmoniques.

Ma question intervient dans ce cadre : dans de nombreux articles (de physiques), on ne justifie généralement pas de type de décomposition. Or, j'aimerais savoir quelles hypothèses mathématiques seraient nécessaires pour cela.

Par exemple, un champ scalaire dépendant de coordonnées spatiales , évoluant dans un milieu homogène seulement dans les directions et , pourrait se décomposer sous la forme suivante :



Lorsqu'on doit résoudre des systèmes différentiels qui dépendent de , ce genre de décomposition est utile pour résoudre le système avec , puis repasser à la fin du calcul sur l'objet initial .

Toutefois, quels sont les préalables mathématiques qui permettent de justifier proprement ce genre de décomposition ?
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[invitead1578fb]

Bonsoir,

On m'a toujours dit en physique : tant que ça marche tout va bien, autrement dit, si tes intégrales te donne un résultat tu ne vérifies pas la convergence, pour utiliser les théorèmes de Green ( puisque tu parles de champ ) idem, par exemple est ce qu'en physique on voit des équation à variables non séparables ? ou alors deux dérivées qu'on ne peut pas permuter ?
J'espère que cette non-réponse peut te satisfaire un peu , bonne soirée

[invitead1578fb]

Re, la formulation officielle est "il faut que l'énergie soit de carré sommable"

[GrisBleu]

Salut

si une fonction est
- c infini et converge tres vite vers 0, la TF existe, a les memes proprietes, est une isometrie et tout marche
- de carre sommable, sa TF existe, et est de carre sommable et de meme norme. Par contre il n y a pas egalie point a point entre TF de TF et la fonction de depart. elles sont egales presque partout
- sommable, la TF existe, mais pas forcement la TF de la TF

Quand je vois des bouquins de physique, on travaille, implicitement, avec des distributions sur le premier type de fonction. Tout marche sans trop de probleme alors

++

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e5ede0a]

ok, merci beaucoup.