Loi géométrique

[rhomuald]

Bonjour,

Soiit des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre
( ). On note

1. Que peut servir à modéliser .

2. Déterminer la loi de (on dit que suit la loi géométrique de paramètre , et on note cette loi ).

3. Calculer , , : la fonction de répartition de et : la fonction caractéristique de .

4. On dit qu'une variable aléatoire est sans mémoire dans si les conditions suivantes sont vérifiées

et
.

(a) Interpréter cette propriété.

(b) Montrer que la fonction vérifie une certaine équation fonctionnelle.

(c) Résoudre cette équation puis en déduire que suit une loi géométrique de paramètre


J'ai touvé que la loi de est ,

ainsi pour la fonction caractéristique, pour tout , on a :



là je ne sais pas si on peut simplifier davantage.

Ensuite pour la question 4., alors pour la (a), je ne vois pas vraiment ce qu'on me demande, j'ai dit que pour tous ,
la probabilité de l'évènement sachant que l'évènement est réalisée est la même que celle de l'évènement .

Pour la (b) je fixe , on a pour tout entier

,

ie ,

mais à partir de cette équation, je ne vois pas comment déterminer et montrer que suit une loi géométrique de paramètre comme il est demandé en (c).


Merci pour votre aide.
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[God's Breath]

Bonjour,

là je ne sais pas si on peut simplifier davantage.

On peut sommer la série géométrique :

Ensuite pour la question 4., alors pour la (a), je ne vois pas vraiment ce qu'on me demande, j'ai dit que pour tous ,
la probabilité de l'évènement sachant que l'évènement est réalisée est la même que celle de l'évènement .

Ce qui est une paraphrase de l'énoncé. Autrement dit, la probaiblité conditionnelle de sachant est indépendante de : c'est en ce sens que la loi est "sans mémoire".
Si tu restreins ton univers à l'événement , la probabilité que la différence entre la valeur de et sa valeur minimale soit supérieure à ne dépend pas de , et ne permet donc pas de savoir à quel événement tu as restreins l'univers. Tout se passe comme si la variable avait "oublié" qu'on lui impose de réaliser l'événement .

,

mais à partir de cette équation, je ne vois pas comment déterminer et montrer que suit une loi géométrique de paramètre comme il est demandé en (c).

Il semble classique que cette équation fonctionnelle est satisfaite par les fonctions de la forme ; reste à déterminer les conditions sur ...

[rhomuald]

Merci pour ces explications gb.

Il semble classique que cette équation fonctionnelle est satisfaite par les fonctions de la forme ; reste à déterminer les conditions sur ...

.

est solution pour tout , vu que est égal à une proba, mais pourquoi toutes les solutions sont de cette forme?

[God's Breath]

est solution pour tout , vu que est égal à une proba, mais pourquoi toutes les solutions sont de cette forme?

M'enfin, rhomuald !!!

, et on a une suite géométrique de raison ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[rhomuald]

M'enfin, rhomuald !!!

, et on a une suite géométrique de raison ...

ah oui c'est vrai,

donc . Quel est le lien entre et la loi de ?

[God's Breath]

Tes neurones fatiguent, rhomuald ; il faut aller les reposer...

La définition , c'est une fonction de répartion modifiée.
Il y a un rapport direct entre et ...

[rhomuald]

oui effectivement je fatigue un peu

je crois que j'ai compris.

Pour tout , la fonction de répartition de est constante sur .

On a , de même .

Par conséquent ,

donc suit une loi géométrique de paramètre .

Merci God's Breath.

[God's Breath]

Plus directement, tu peux utiliser que et , sans revenir vraiment à la fonction de répartition...

[rhomuald]

Plus directement, tu peux utiliser que et , sans revenir vraiment à la fonction de répartition...

ah oui c'est vrai , enfin je suppose que la deuxième union est en fait une intersection, je n'y avais pas pensé.

[God's Breath]

je suppose que la deuxième union est en fait une intersection.

Oui, dans la seconde égalité, il faut lire une intersection (un "\cap" au lieu d'un "\cup").

[rhomuald]

un question analogue dans un autre exercice me pose problème:

Une v.a. est dite sans mémoire sur si ,

.

Montrer qu'il y a équivalence entre:

(i) est sans mémoire sur ,

(ii) suit la loi exponentielle de paramètre avec .


Pour (i)=>(ii) je bloque (l'implication (ii)=>(i) est ok)

J'ai posé ,

je trouve que pour tout , on a

,

là je ne vois pas comment en déduire que avec . :?

[God's Breath]

je trouve que pour tout , on a

,

là je ne vois pas comment en déduire que avec . :?

C'est de la bonne vieille résolution d'équation fonctionnelle.
IL faut remarquer que, pour tout et tout entier non nul : (pas très difficile à prouver...)

Ensute, on pose , de telle sorte que (le meilleur moyen d'obternir la bonne valeur, c'est de la définir telle qu'on la veut...).

Alors, pour tout entier non nul : .
Puis, pour tout rationnel , avec et entiers non nuls : , donc .

Pour pousser jusqu'à pour tout , il faut utiliser une propriété supplémentaire de .
Dans le cas qui nous occupe, la monotonie de permet de conclure.

[ericcc]

Il y a toute une disussion dans le topic "classique parmi les classiques" sur les conditions requises pour passer du cas rationnel au cas réel, dans le cas des fonctions additives qui s'applique bien ici :

http://forums.futura-sciences.com/thread102468-2.html

[rhomuald]

je vois.

merci.