Loi de Poisson convergeant vers loi normale

[invite97a526b6]

Bonjour,
Qui peux m'aider pour cet exercice:
X_a famille de variables aléatoires de même loi de Poisson P(a), c'est à dire loi de Poisoon de paramètre a >0.
Montrer (X_a - a)a^-1/2 converge en loi ver une variable aléatoire N(0,1) lorsque a tend vers l'infini (convergence vers la loi normale réduite centrée).

J'ai essayé en cherchant la limite de la fonction caractéristique, de (X_a - a) a^-1/2 mais je n'arrive pas à démontrer que cette limite est bien exp ((-t^2)/2)...
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[invite57a1e779]

Bonjour,

J'ai essayé en cherchant la limite de la fonction caractéristique, de (X_a - a) a^-1/2 mais je n'arrive pas à démontrer que cette limite est bien exp ((-t^2)/2)...

Qu'as-tu trouvé comme fonction caractéristique de ?

Il me semble qu'un bête développement limité de l'argument de l'exponentielle dans cette fonction caractéristique conduit au résultat voulu.

[invite97a526b6]

Bonjour,



Qu'as-tu trouvé comme fonction caractéristique de ?

Il me semble qu'un bête développement limité de l'argument de l'exponentielle dans cette fonction caractéristique conduit au résultat voulu.

J'ai trouvé esp[-i(a^1/2)t) + a(exp[i(a^-1/2)t - 1)]
Cela n'a pas l'air de tendre vers la fc de la loi normale réduite... ?
Même en essayant un développement limité...

[invite57a1e779]

J'ai trouvé esp[-i(a^1/2)t) + a(exp[i(a^-1/2)t - 1)]
Cela n'a pas l'air de tendre vers la fc de la loi normale réduite... ?
Même en essayant un développement limité...

Si j'ai bien compris ton parenthèsage, tu as trouvé avec

Comme tend vers 0 lorsque tend vers l'infini, tu as le développement limité
, donc
, et tu as bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Merci beaucoup, mon erreur venait que je m'obstinais à développer en 1/a puis 1/a tendant vers 0. Ce n'étais pas la bonne mérhode !
Je vois que tu as obtenu la bonne limite en développant en t .
Encore merci !

[invite57a1e779]

Merci beaucoup, mon erreur venait que je m'obstinais à développer en 1/a puis 1/a tendant vers 0. Ce n'étais pas la bonne mérhode !
Je vois que tu as obtenu la bonne limite en développant en t .
Encore merci !

Je n'ai pas développé en !!!

J'ai simplement écrit que , puis j'ai substitué qui tend bien vers 0 lorsque, étant fixé, tend vers l'infini.