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Loi de Poisson convergeant vers loi normale



  1. #1
    FAN FAN

    Loi de Poisson convergeant vers loi normale


    ------

    Bonjour,
    Qui peux m'aider pour cet exercice:
    X_a famille de variables aléatoires de même loi de Poisson P(a), c'est à dire loi de Poisoon de paramètre a >0.
    Montrer (X_a - a)a^-1/2 converge en loi ver une variable aléatoire N(0,1) lorsque a tend vers l'infini (convergence vers la loi normale réduite centrée).

    J'ai essayé en cherchant la limite de la fonction caractéristique, de (X_a - a) a^-1/2 mais je n'arrive pas à démontrer que cette limite est bien exp ((-t^2)/2)...

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Loi de Poisson convergeant vers loi normale

    Bonjour,

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    J'ai essayé en cherchant la limite de la fonction caractéristique, de (X_a - a) a^-1/2 mais je n'arrive pas à démontrer que cette limite est bien exp ((-t^2)/2)...
    Qu'as-tu trouvé comme fonction caractéristique de ?

    Il me semble qu'un bête développement limité de l'argument de l'exponentielle dans cette fonction caractéristique conduit au résultat voulu.

  4. #3
    FAN FAN

    Re : Loi de Poisson convergeant vers loi normale

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Bonjour,



    Qu'as-tu trouvé comme fonction caractéristique de ?

    Il me semble qu'un bête développement limité de l'argument de l'exponentielle dans cette fonction caractéristique conduit au résultat voulu.
    J'ai trouvé esp[-i(a^1/2)t) + a(exp[i(a^-1/2)t - 1)]
    Cela n'a pas l'air de tendre vers la fc de la loi normale réduite... ?
    Même en essayant un développement limité...

  5. #4
    God's Breath

    Re : Loi de Poisson convergeant vers loi normale

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    J'ai trouvé esp[-i(a^1/2)t) + a(exp[i(a^-1/2)t - 1)]
    Cela n'a pas l'air de tendre vers la fc de la loi normale réduite... ?
    Même en essayant un développement limité...
    Si j'ai bien compris ton parenthèsage, tu as trouvé avec

    Comme tend vers 0 lorsque tend vers l'infini, tu as le développement limité
    , donc
    , et tu as bien

  6. #5
    FAN FAN

    Re : Loi de Poisson convergeant vers loi normale

    Merci beaucoup, mon erreur venait que je m'obstinais à développer en 1/a puis 1/a tendant vers 0. Ce n'étais pas la bonne mérhode !
    Je vois que tu as obtenu la bonne limite en développant en t .
    Encore merci !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    God's Breath

    Re : Loi de Poisson convergeant vers loi normale

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Merci beaucoup, mon erreur venait que je m'obstinais à développer en 1/a puis 1/a tendant vers 0. Ce n'étais pas la bonne mérhode !
    Je vois que tu as obtenu la bonne limite en développant en t .
    Encore merci !
    Je n'ai pas développé en !!!

    J'ai simplement écrit que , puis j'ai substitué qui tend bien vers 0 lorsque, étant fixé, tend vers l'infini.

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