Questions fonctions holomorphes

[invitebb921944]

Bonjour,
J'essaie de faire les exams d'holomorphes des années précédentes et je n'arrive pas à résoudre certains exercices...

Voici le premier :

Soit f une fonction holomorphe sur un voisinage U du demi-plan supérieur . On suppose qu'il existe et tels que pour tout . Montrer alors que pour tout avec , on a :


Bon cette formule est quasiment la même que la formule de Cauchy.
En fait mon gros souci dans cet exercice, c'est que f n'est pas holomorphe sur C tout entier.
En effet, je voulais prendre comme chemin le cercle de centre 0 et de rayon R.
Par Cauchy pour R assez grand, j'aurai eu que z est dans l'intérieur de mon chemin et j'aurai pu écrire :

(w complexe)

J'aurai ensuité décomposé mon intégrale en une somme d'une intégrale sur le demi cercle fermé de rayon R supérieur et d'une deuxième sur le demi-cercle fermé de rayon R inférieur (les deux de centre 0).

J'aurai alors eu que l'intégrale sur le demi cercle fermé inférieur est nulle puisque f est holomorphe sur ce fermé et z n'est pas dans ce fermé (car ), le quotient est donc holomorphe sur le fermé.
Je n'aurai plus eu qu'à séparer l'intégrale sur le demi cercle fermé supérieur en une intégrale sur le demi cercle supérieur et une autre sur l'axe des abscisses et en faisant tendre R vers l'infini, j'aurai obtenu que la première intégrale tend vers 0 et la deuxième intégrale aurait été l'intégrale recherchée.

Mais tout ça ne marche pas à cause de la restriction de l'holomorphie de f au demi plan supérieur. Si quelqu'un a une idée...

Sinon un deuxième exercice :
Soit une application continue qui est holomorphe sur l'ouvert ou . Montrer que f est en fait holomorphe sur tout entier.

Ce genre d'exercice a l'air classique mais je ne vois pas du tout comment faire ni quelle méthode utiliser.
Merci pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Soit f une fonction holomorphe sur un voisinage U du demi-plan supérieur . On suppose qu'il existe et tels que pour tout . Montrer alors que pour tout avec , on a :


Bon cette formule est quasiment la même que la formule de Cauchy.
En fait mon gros souci dans cet exercice, c'est que f n'est pas holomorphe sur C tout entier.
En effet, je voulais prendre comme chemin le cercle de centre 0 et de rayon R.

Ganash,

Ton idée est la bonne, mais il faut refermer le demi-cercle supérieur par le segment de l'axe réel, ce qui permet :
- de travailler avec un contour d'intégration autour de qui reste dans le domaine d'holomorphie ;
- de faire apparaître l'intégrale de la variable réelle .

[invitebb921944]

Oui d'accord mais si je prends ce chemin, je peux effecivement utiliser la décomposition de l'intégrale sur les deux chemins : axe réel et demi-cercle, j'ai bien que l'intégrale sur le demi cercle tend vers 0 quand R tend vers l'infini et que l'intégrale sur l'axe réel est celle recherchée mais comment en déduire qu'elle vaut f(z) ? Je ne peux pas appliquer Cauchy puisque j'intègre sur un demicercle fermé et non sur un cercle. Non ?

[invitebb921944]

Je viens de voir que Caucy marche en fait pour tout ouvert U connexe apparemment, ce qui n'est pas dans mon cours...
M'enfin je dois surement pouvoir l'utiliser.

Si quelqu'un a une méthode pour le deuxième je suis preneur.

Merci God's Breath.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Pour la deuxième question : je vais résoudre le cas où f est holomorphe partout sauf sur la droite réelle (le principe reste le même dans ton cas).

f est holomorphe sur si et seulement si pour tout triangle T inclus dans ,


Soit T un triangle inclus dans .
Si T ne coupe pas la droite réelle, alors T est inclus dans un domaine sur lequel f est holomorphe (demi-plan supérieur ou inférieur) et il n'y a rien à montrer.
Supposons que T coupe la droite réelle.
Alors on va approcher Fr(T) par une suite de paires de lacets, l'un dans le demi-plan supérieur, l'autre dans le demi-plan inférieur, par exemple en effaçant la partie {Im(z)<1/n} et en "recollant" les morceaux de chaque côté par des segments parallèles à la droite réelle.
L'intégrale de f sur ce cycle est nulle pour tout n (f holomorphe sur chacun des demi-plans). f étant continue et bornée sur T, on vérifie que ces intégrales convergent bien vers l'intégrale de f le long de Fr(T), qui est donc nulle.

Il y a peut-être plus simple. C'est très intuitif, mais plutôt compliqué à rédiger.

[invite57a1e779]

Je viens de voir que Cauchy marche en fait pour tout ouvert U connexe apparemment, ce qui n'est pas dans mon cours...

Cela fait 150 ans que le pauvre Cauchy n'a plus trop l'occasion de marcher...
Il suffit de calculer l'intégrale que je propose sur la frontière d'un demi cercle par la formule des résidus... dont la formule de Cauchy est en fait un cas particulier.

[invitebb921944]

Merci à vous deux !