Fonctions holomorphes

[mehdi_128]

Bonsoir,comment montrer :

Soit U un ouvert borné convexe.f:U->R est harmonique sur U et continue sur U barre.(adhérence)
Montrer que f atteint son min sur U barre et que:
Min (z de U barre)f(z)=min(z de U) f(z)

Ensuite: soit : G:C->Cou :g(z)=exp(z)-exp(z barre)

soit:f=(1/2) */G/

1/ G est-elle holomorphe? (aucune idée)

2/f est-elle holomorphe (ca dépend de G)

3/Donner une conjuguée harmonique de f sur {z de C/Im(z) c [0,Pi/2]
(comprends pas la question)

4/Calculer min f sur le triangle rectangle de sommets:i.Pi/4 , 1+i.Pi/2 ,iPi/2
(completement percu)


Ca serait sympa de me donner quelques indications ....
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[mehdi_128]

Bonsoir,comment montrer :

Soit U un ouvert borné convexe.f:U->R est harmonique sur U et continue sur U barre.(adhérence)
Montrer que f atteint son min sur U barre et que:
Min (z de U barre)f(z)=min(z de U) f(z)

Ensuite: soit : G:C->Cou :g(z)=exp(z)-exp(z barre)

soit:f=(1/2) */G/

1/ G est-elle holomorphe? (aucune idée)

2/f est-elle holomorphe (ca dépend de G)

3/Donner une conjuguée harmonique de f sur {z de C/Im(z) c [0,Pi/2]
(comprends pas la question)

4/Calculer min f sur le triangle rectangle de sommets:i.Pi/4 , 1+i.Pi/2 ,iPi/2
(completement percu)


Ca serait sympa de me donner quelques indications ....

Ca n'intéresse personne ?

[invitebe6c366e]

1) Tout d'abord, z barre n'est pas holomorphe en aucun point je crois. g(z)=exp(z)-exp(z barre), exp(z) est évidemment holomorphe partout mais exp(z barre) je crois que tu peux prouver que non

2)ça dépend effectivement de G

3) Peut-être qu'avec les équations de Cauchy-Riemann, tu vas retrouver ce conjugué

4)Tu dois utiliser le théorème en montrant d'abord que f est harmonique. Trouve le min sur le bord et ce sera le même pour tout z dans le triangle

[mehdi_128]

1) Tout d'abord, z barre n'est pas holomorphe en aucun point je crois. g(z)=exp(z)-exp(z barre), exp(z) est évidemment holomorphe partout mais exp(z barre) je crois que tu peux prouver que non

2)ça dépend effectivement de G

3) Peut-être qu'avec les équations de Cauchy-Riemann, tu vas retrouver ce conjugué

4)Tu dois utiliser le théorème en montrant d'abord que f est harmonique. Trouve le min sur le bord et ce sera le même pour tout z dans le triangle

1/


J'ai fait,en posant :



exp(z)-exp(z barre)= 2.i.exp(x).sin(y) mais la je bloque .....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Salut !


1) soit tu dit si f etait holomorphe alors (z barre) le serait aussi par composition de fonction holomorphe, (or (z barre) n'est pas holomorphe). soit tous simplement tu teste les condition de cauchy riemann et tu vois qu'elle ne fonctionne pas.


2) je vois pas trop en quoi ca dépend de G : une fonction à valeur dans R n'est JAMMAIS holomophe.


3) qu'est ce que tu comprend pas dans la question ? (je t'ai déja expliqué ce qu'etais un conjugué harmonique dans ton poste précedant non ?)

[mehdi_128]

Salut !


1) soit tu dit si f etait holomorphe alors (z barre) le serait aussi par composition de fonction holomorphe, (or (z barre) n'est pas holomorphe). soit tous simplement tu teste les condition de cauchy riemann et tu vois qu'elle ne fonctionne pas.


2) je vois pas trop en quoi ca dépend de G : une fonction à valeur dans R n'est JAMMAIS holomophe.


3) qu'est ce que tu comprend pas dans la question ? (je t'ai déja expliqué ce qu'etais un conjugué harmonique dans ton poste précedant non ?)

Ah Ok j'avais démontré qu'elle est pas holomorphe avec Cauchy ....
Pour la 2 je me suis trompé c'est f est-elle harmonique ?

En posant :z=x+iy j'ai démontrer que :

f=exp(x).sin(y) mais la je bloque ....

[mehdi_128]

et comment montrer que exp(z barre ) n'est pas holomorphe ?

[invite4ef352d8]

et comment montrer que exp(z barre ) n'est pas holomorphe ? >>> y au moins 35 methode plus ou moins courte... mais normalement tu devrait avoir le réflexe d'utiliser Cauchy rieman maintenant, ca marche tous le temps ! (mais sinon on peut aussi dire que si c'etait le cas alors exp(z barre)*exp(z) serait holomorphe, or c'est une fonction à valeur dans R.



f=exp(x).sin(y) mais la je bloque ....>>> c'est bien domage ca ! rapelle moi ce que c'est qu'une fonction harmonique ?

[mehdi_128]

et comment montrer que exp(z barre ) n'est pas holomorphe ? >>> y au moins 35 methode plus ou moins courte... mais normalement tu devrait avoir le réflexe d'utiliser Cauchy rieman maintenant, ca marche tous le temps ! (mais sinon on peut aussi dire que si c'etait le cas alors exp(z barre)*exp(z) serait holomorphe, or c'est une fonction à valeur dans R.



f=exp(x).sin(y) mais la je bloque ....>>> c'est bien domage ca ! rapelle moi ce que c'est qu'une fonction harmonique ?

c'est la partie réelle d'une fonction holomorphe ,euh et la c'est la partie réelle d'une fonction non holomorphe donc elle est pas harmonique c'est ca ?

[mehdi_128]

De plus :comment montrer ceci ?

Soit U un ouvert borné convexe.f:U->R est harmonique sur U et continue sur U barre.(adhérence)
Montrer que f atteint son min sur U barre et que:
Min (z de U barre)f(z)=min(z de U) f(z)

[invitebe6c366e]

Salut !
2) je vois pas trop en quoi ca dépend de G : une fonction à valeur dans R n'est JAMMAIS holomophe.

Effectivement, mais si G n'est pas holomorphe, alors si on multiplie une constante outre que 0 à cette fonction G elle ne le sera pas plus, à moins que je me trompe!

[mehdi_128]

De plus :comment montrer ceci ?

Soit U un ouvert borné convexe.f:U->R est harmonique sur U et continue sur U barre.(adhérence)
Montrer que f atteint son min sur U barre et que:
Min (z de U barre)f(z)=min(z de U) f(z)

J'ai fais:

est bornée dans donc est compact; une fonction continue sur un compact...
Ensuite, si le min est atteint sur alors c'est réglé, sinon c'est en mais il existe alors une suite de : ou zn est une suite de U et z0 appartient a l'adhérence deU et la je bloque ...........

[invite4ef352d8]

"c'est la partie réelle d'une fonction holomorphe ,euh et la c'est la partie réelle d'une fonction non holomorphe donc elle est pas harmonique c'est ca ?"


non, ca c'est une propriété que tu as montré en cours : une fonction de c->R est la partie réel d'une fonction holomorphe si et seulement si elle est harmonique.


une fonction harmonique c'est une fonction h telle : laplacien de h=0

ou laplacien de h est par définition d²h/dx²+d²h/dy²

il suffit donc de calculer le laplacien de ta fonction et de voir si c'est nul ou pas.


accesoirement, meme avec la définition que tu as donné, tu aurais aussi put voir que exp(x).sin(y)=Im(exp(z))=Re(-i.exp(z))

[invite4ef352d8]

"
Effectivement, mais si G n'est pas holomorphe, alors si on multiplie une constante outre que 0 à cette fonction G elle ne le sera pas plus, à moins que je me trompe!" >>> euh, c'est pas f=G/2 aussi, mais f=|G|/2 donc dans tous les cas f n'etait pas holomorphe puisque à valeur réel. mais la question est f est-elle harmonique de toute facon.

[mehdi_128]

"c'est la partie réelle d'une fonction holomorphe ,euh et la c'est la partie réelle d'une fonction non holomorphe donc elle est pas harmonique c'est ca ?"


non, ca c'est une propriété que tu as montré en cours : une fonction de c->R est la partie réel d'une fonction holomorphe si et seulement si elle est harmonique.


une fonction harmonique c'est une fonction h telle : laplacien de h=0

ou laplacien de h est par définition d²h/dx²+d²h/dy²

il suffit donc de calculer le laplacien de ta fonction et de voir si c'est nul ou pas.


accesoirement, meme avec la définition que tu as donné, tu aurais aussi put voir que exp(x).sin(y)=Im(exp(z))=Re(-i.exp(z))

Merci j'ai calculé le laplacien ,elle est bien harmonique car il vaut 0 :j'ai pris 2 cas:y dans [0,Pi] mod 2Pi et dans [Pi,2Pi] mod 2Pi

Pour les conjugués harmoniques ;je dirai que comme z est dans [0,Pi/2]

abs(sin(y))=sin(y)

=> Re(F)=f=exp(x).sin(y)

d'après Cauchy riemann j'ai :

d(Im(F))/dy =sin(y).exp(x)
d(Im(F))/dx=-cos(y).exp(x)

et la je bloque pour déterminer Im(F) ....

[invite4ef352d8]

t'as pas une petit idée à parti de ces equations :


d(Im(F))/dy =sin(y).exp(x)
d(Im(F))/dx=-cos(y).exp(x)

?

on ne te demande pas de les résoudres : juste d'en donner une solution, et il y en a une relativement évidente non ? (quand ta une expresion avec des sin,cos et des exp, vu qu'ils son leurs propres dérivé, cherche une expressions qui s'écrive aussi avec des sinus/cosinus et des exponentielle...)

au pire, je parle, mais normalement, rien qu'avec l'équation "d(Im(F))/dx=-cos(y).exp(x)" du devrait etre capable de donner Im(F) !! (enfin presque...)

[mehdi_128]

t'as pas une petit idée à parti de ces equations :


d(Im(F))/dy =sin(y).exp(x)
d(Im(F))/dx=-cos(y).exp(x)

?

on ne te demande pas de les résoudres : juste d'en donner une solution, et il y en a une relativement évidente non ? (quand ta une expresion avec des sin,cos et des exp, vu qu'ils son leurs propres dérivé, cherche une expressions qui s'écrive aussi avec des sinus/cosinus et des exponentielle...)

au pire, je parle, mais normalement, rien qu'avec l'équation "d(Im(F))/dx=-cos(y).exp(x)" du devrait etre capable de donner Im(F) !! (enfin presque...)

Ah oui exact :je trouve :

Im(F)=-exp(x).cos(y) ok donner une solution donc pas besoin de constante ;par contre pourrais-tu m'aider pour la derniere question avec le traingle ?

[mehdi_128]

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour cette question ?


4/Calculer min f sur le triangle rectangle de sommets:i.Pi/4 , 1+i.Pi/2 ,iPi/2

[invitebe6c366e]

"
Effectivement, mais si G n'est pas holomorphe, alors si on multiplie une constante outre que 0 à cette fonction G elle ne le sera pas plus, à moins que je me trompe!" >>> euh, c'est pas f=G/2 aussi, mais f=|G|/2 donc dans tous les cas f n'etait pas holomorphe puisque à valeur réel. mais la question est f est-elle harmonique de toute facon.

Je suis désolé j'avais mal compris la notation f=(1/2)*/G/, tu as tout à fait raison, mais la question qu'il pose est effectivement f est-elle holomorphe, à moins qu'il se soit tromper !

merci