Crakpot de l'été sur les fonctions holomorphes ?

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

En ce moment, je suis confronté à des problèmes sur les zéros des fonctions holomorphes, notamment liés à la simple connexité de . Et ce matin, sous la douche, en faisant le bilan, je me suis dit que ça avait une chance de marcher. En décortiquant la preuve, je trouve que ça revient au théorème suivant :

Th (?) : Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert O. Soit K un compact inclus dans 0. Je suppose qu'il existe un a dans K tel que . Alors f s'annule sur K.

Le problème, c'est que ce théorème, je le sens pas. Et pourtant j'ai une preuve. Je vous la montre, et vous me dites si c'est mon crakpot de l'été, ou si en fait ce théorème est vrai, ok ?

Preuve.
est continu sur K, donc atteint son minimum sur K, en un point, disons b. On sait que b n'est pas sur le bord de K à cause de l'hypothèse. Je suppose que g(b) n'est pas nul.

Comme f est non constante localement (sinon elle le serait globalement et dans ce cas on ne pourrait pas avoir l'existence d'un a qui satisfait l'hypothèse), et qu'on peut développer f sur un disque autour de b contenu dans K, on sait qu'il existe un c non nul tel que , où epsilon est une fonction holomorphe qui tend vers 0 quand z tend vers b.

Et donc, pour tout delta positif, quitte à restreindre le disque sur lequel on travaille, Enfin, si je prends , j'obtiens, en choisissant un angle Z tel que et un z de la forme , et en faisant tendre r vers 0, j'obtiens une contadiction.

Alors, qu'en dites vous ? Ai je dis des bétises ? En fait je me suis directement inspiré d'une des nombreuses preuves du théorème de d'Alembert Gauss.

J'attends vos commentaires,

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tvz
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[invite8b04eba7]

Salut !

Ça n'a pas l'air crackpotesque. Si f ne s'annule pas sur K, alors 1/f est holomorphe et étant non constante, elle ne peut avoir de maximum local sur l'intérieur de K (supposé connexe, ce qui ne restreint pas la généralité, car f n'est constante sur aucune composante connexe de l'intérieur de K). C'est juste le principe du maximum.

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tvz

Ça change !

[invite6b1e2c2e]

Merci Doudache.

Merci beaucoup même, je crois que ça me fait sortir d'un calcul long de 2 semaines... (Au passage, bon courage Guyem )

D'accord, j'avais oublié l'hypothèse de connexité. Je sentais bien que c'était lié au principe du maximum, mais je ne voyais pas pourquoi. Enfin ta preuve est évidemment plus jolie (La mienne est vraiment pédestre, et elle prouve à la face du monde que j'ai oublié tous mes cours d'analyse complexe dans un coin perdu au fond de mon cerveau)

En fait, je viens de détailler la preuve (la mienne) à un de mes cobureaux, et je me suis autoconvaincu aussi que ça ne pouvait pas être faux.

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Rvz, tvz les jours où l'index de la main droite n'est pas bien réveillé