Je trouve plus mes mots : Fonctions holomorphes ?

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Juste un petit problème. J'arrive plus à savoir si c'est vrai, et j'ai pas de bouquin de références sous la main.

Si je considère l'application qui à z associe
pour z dans C, où la racine carrée est celle que l'on croit, et le log ce que l'on croit aussi, où est-ce que ce machin-là est bien holomorphe ?
Si je regarde , ce n'est jamais dans l'ensemble dangereux des rééls négatifs, donc je suppose que tout le problème est concentré la dedans, et notamment dans la racine. Seulement j'ai l'impression que c'est tout ce qu'il y a de plus holomorphe sauf en z = i ou -i. Ce qui m'inquiète, c'est qu'il me semblait avoir vu un théorème du type : si g est continue sur un ouvert, et si g est holomorphe partout sauf en un point de cet ouvert, alors g est holomorphe y compris en ce point.

Où est-ce que j'ai craqué ? Dans la définition de la racine carré ?

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rvz
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[invite455504f8]

Bonjour,

Juste un petit problème. J'arrive plus à savoir si c'est vrai, et j'ai pas de bouquin de références sous la main.

Si je considère l'application qui à z associe
pour z dans C, où la racine carrée est celle que l'on croit, et le log ce que l'on croit aussi, où est-ce que ce machin-là est bien holomorphe ?
Si je regarde , ce n'est jamais dans l'ensemble dangereux des rééls négatifs, donc je suppose que tout le problème est concentré la dedans, et notamment dans la racine. Seulement j'ai l'impression que c'est tout ce qu'il y a de plus holomorphe sauf en z = i ou -i. Ce qui m'inquiète, c'est qu'il me semblait avoir vu un théorème du type : si g est continue sur un ouvert, et si g est holomorphe partout sauf en un point de cet ouvert, alors g est holomorphe y compris en ce point.

Où est-ce que j'ai craqué ? Dans la définition de la racine carré ?

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rvz

oui je pense, les point i et -i sont des points de branchement d'où partent deux demi-droites qui sont les coupures, la fonction est holomorphe dans le complémentaire de ces demi-droites

[invite455504f8]

on peut aussi prendre pour coupure un arc joignant i et -i

[invite6b1e2c2e]

Merci de ta réponse.

En effet, je vois ce que tu veux dire. Cela m'ennuie un peu parce que cela veut dire que argsh= f n'est bien défini que sur O = C privé des demi-droites d'équation Re(z) = 0 et |Im(z)|>1. C'est bien cela, n'est ce pas ?
Du coup, c'est bien holomorphe sur O privé de i et de -i et continue en i et -i, n'est ce pas ?

Merci ,
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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite455504f8]

oui c'est ça, mais tu peux prendre d'autres demi-droites, ça dépend quelle coupure tu prends pour la racine. Sinon comme je disais on peut aussi enlever le segment entre i et -i.
le tout étant d'empêcher de faire un tour complet autour de i ou -i car alors la racine change de signe

[invite35452583]

Bonjour,
version topologique du problème
on prend un anneau de bord c1 entourant -i; 0 et i et c2 un cercle de rayon r2 (supposé grand) (entourant le disque de bord c1 donc.
g est injective
z-z'=rac-rac on lève au carré
on simplifie, on aboutit à (1+zz')²=rac fois rac et finalement à (z-z')²=0 d'où z=z'.
g est continue sur cet anneau si g est supposée bien définie sur C privé du segment [-i ; i]
Cet anneau est compact donc g est un homéo de cet anneau sur son image.
On fait tendre le rayon de c2 vers + infini, soit x réel positif tend vers +infini on prend la positive pour un réel positif g(x) tend vers + infini, si on prend l'autyre détermination c'est pour x négatif qu'en module g(x) tend vers + l'infini. Ceci montre que g(c2) est le bord vers l'extérieur, et, g est surjective sur le plan complexe moins un disque donc g prend des valeurs négatives.
Il faut au moins couper par une "demi-droite" (qui peut être courbe ) en plus de -i à i.

Cordialement

[invite35452583]

Re,
je viens de me relire et je crois que c'est un peu embrouillé. Ce qui précède ne montre pas une contradiction à une bonne définition de g sur C privé d'un chemin entre -i et i, ça ça doit être bien défini et holomorphe sur un domaine de ce type. Le problème est pour le log, il faut, amha, une coupure supplémentaire.

Cordialement