Equation différentielle non linéaire du 2nd ordre

[Gilgamesh]

Bonjour,

je voudrais trouver l'équation du mouvement d'une voile solaire s'éloignant vers l'infini depuis une orbite terrestre, mue par la seule poussée radiative, qui est en 1/x² (x étant la distance au Soleil) et qui se freine pareillement par la seule force du rayonnement en arrivant de l'infini sur une étoile distante (de même puissance radiative que le Soleil pour simplifier).

J'ai un truc de la forme :

d²x/dt² = k/x(t)²

k = A.P.x0²/M

avec

A : surface de la voile
P : poussée radiative surfacique au niveau de l'orbite terrestre (4,8 µN/m²)
M : masse de l'engin (structure + câblerie + voile)
x0 : 1 UA (dist. Terre Soleil)

Et je cherche l'expression exacte de x(t).

Conditions initiales

en t = 0 j'ai :
x0 = 1 UA
v0 = 0
a0 = k/x0² = AP/M

La vitesse limite et l'accélération nulle sont vite atteinte et la plus grande partie du trajet est purement galiléenne.

Ensuite la voile doit freiner en arrivant près d'une étoile distante.

Je me doute pour l'avoir simulé que je dois prévoir deux constantes : l'une d'accélération k1 ~ A1 (l'aire de la voile d'accélération) et l'autre de freinage k2 ~ A2 (l'aire de la voile de freinage).

Pour le freinage, x(t) désigne la distance à l'astre de destination ; x(t) est donc cette fois une fonction décroissante avec le temps et t le temps est compté à partir du début de la décélération.

t = 0 (début du freinage)
x0 = ? (c'est ce que je cherche, en fonction de k2)
v0 = max
a0 = 0

et je veux arriver à vitesse nulle à x=1UA.

J'ai cherché des solutions exactes ici :
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm

Mais je n'ai pas trouvé qqchose qui colle à mon problème cad qqchose de la forme :

y'' = Ax^a

Quelqu'un pourrait t'il m'indiquer comment m'y prendre (changement de variable judicieux ou autre). Merci.


a+
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[BioBen]

Hello,

Et le x proportionnel à t^2/3 ca marche pas ? (je te laiss trouver les coefs devant)

Normalement cette solution devrait marcher, sinon tu dois utiliser une forme parametrique en ch(theta) et sh(theta).

J'espere ne pas avoir répondu à coté de la plaque j'ai maalll dormi.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Si j'étais toi, je multiplierai par dx/dt, j'intégrerai, et je prendrai la racine, pour tomber sur un truc encore bien moche, mais je pense que ça va être résoluble.

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rvz

[Gilgamesh]

Salut, merci à vous deux pour vos réponses.

Alors oui, Bio Ben, j'ai une solution en ^2/3 de type :



woué \o/

Mais je n'arrive pas à lui faire correspondre les conditions initiales...

en t = 0 j'ai :
x0 = 1 UA
v0 = 0
a0 = k/x0² = AP/M

Plein d'espoir, je pose le système d'équation correspondant aux conditions initiales t = 0 :



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Sauf erreur, c'est peut être moi qui me vautre, mais je ne trouve pas de solution cohérente. Pi je sais pas, mais sous Open Office, quand je veux calculer la racine cubique d'un nombre négatif, -9/2 au hasard, ça me renvoit un signal d'erreur.
Quoi ça ??


Je n'ai pas encore essayé la piste de rvz "multiplier par dx/dt, intégrer, et prendre la racine". Hum... Déjà je vais essayer de comprendre
a+

[A voir en vidéo sur Futura]

[BioBen]

Je n'ai pas encore essayé la piste de rvz "multiplier par dx/dt, intégrer, et prendre la racine". Hum... Déjà je vais essayer de comprendre

Ca revient au meme que chez moi

Mais je n'arrive pas à lui faire correspondre les conditions initiales...

J'ai déja eu le meme problème . En fait la solution en 3/2 ne marche que avec C=0 (constante d'integration) dans l'équation sur donnée par rvz, ce qui n'est pas ton cas.
En gros avec ce que te dit rvz tu obtiens un truc style :
v² = 2k/x + C (à verifier).
Tu dois passer en forme parametrique :

Si C>0
x=A( 1 - cos(thêta)) et t=B(thêta - sin(thêta))

Si C<0
x=A(ch( thêta ) – 1) et t=t=B(sh(thêta)-thêta)

avec B=(A^3 / k )^1/2

Ca doit etre trouvable sur internet en plus explicite que dans ce message mais là j'ai po trop le temps...

[BioBen]

Déjà je vais essayer de comprendre

En fait c'est une ptite astuce :
Tu as d²x/dt² = k/x(t)²
Si tu multiplies par dx/dt (enfin v c'est plus court) à gauche et à droite, tu vois que tu obtiens des trucs reconnaissables et ca donne
d/dt{ v^2 - 2k/x} = 0
donc v² = 2k/x + C
etc...

[Gilgamesh]

Merci je vais essayer de m'y mettre alors.

a+

[Gilgamesh]

====== erreur =============