fonction rationelle

[invited5efedfa]

Bonjour j'aimerais que vous m'aidiez sur cet exerice svp
Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.
Merci d'avance pour vos solutions.
Cordialement.
Raptor
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[invite8b04eba7]

Salut !

Ce que tu peux faire, c'est considérer l'ensemble

Montre que cet ensemble
- est non vide
- est stable par multiplication
- contient X² + bX + c (ou son inverse) ssi b²-4c est négatif ou nul
- est inclus dans l'ensemble des fonction rationnelles positives

Ensuite, tu choisis une fraction rationnelle P/Q qui est positive, tu la mets sous une forme factorisée la plus simple et tu montres que chacun des facteurs irréductibles qui interviennent sont soit à une puissance paire, soit de la forme X² + bX + c avec b²-4c négatif.

Je ne sais pas si c'est la preuve la plus simple mais si tu la mets au clair ça devrait marcher.