Bonjour tout le monde (ou plutot bonsoir),
Je suis toujours en train de résumer mes cours de premeire annee de fac et j'ai encore un petit probleme.
J'ai vu en cours comment decomposer une fonction rationelle en elements simples. Mais ds un lvire on parle de simplification et de forme irréductibles, pouvez vous m'expliquer le principe ?
Par exemple ds ce dit livre il donne
(x^3 - x² + x - 1) / (x^3 -1) et en reponse il donne :
(x²+1) / (x²+x+1)
Merci d'avance
Salut,
Dans ton exemple, tu "simplifies" le numérateur et le dénominateur par (x-1). Tes deux fonctions rationnelles coïncident alors sur R privé de 1. C'est une mise sous forme irréductible: les polynômes du numérateur et du dénominateur sont alors premiers entre eux (un peu comme les nombres rationnels).
La décomposition en éléments simples est une autre affaire: cela sert par exemple à décomposer 1/[(x-a)(x-b)] en une fonction rationnelle égale sous la forme A/(x-a) + B/(x-b) (où A et B sont des constantes qu'on peut déterminer). On sait donner la décomposition de n'importe quelle fonction rationnelle en somme d'"éléments simples" qui sont des inverses de polynômes à une racine (qui peut être multiple).
Salut,
je mettrais une précision à ce qu'a écrit supernico999.
en tant que fractions rationnelles (sans avoir à préciser sur R privé de 1).
En effet, les fractions rationnelles sont des objets algébriques ("quotient" de deux polynômes) et non des fonctions bien qu'une fonction soit associée à chacune d'elles. Ainsi déjà chez les polynômes x et x² sur
En terme algébrique, P(X)/Q(X) est une forme irréductible d'une fraction rationnelle R(X) si P(X) et Q(X) sont deux polynômes premiers entre eux. (C'est une définition similaire à celle de forme irréductible d'un nombre rationnel)
Ah ok merci j'ai compris
Merci a vous deux!
