Fonctions holomorphes sur un ouvert non étoilé

[invite97a92052]

Bonjour,

Je me heurte à un problème théorique à propos des fonctions holomorphes :
Si j'ai une fontion f holomorphe sur un ouvert étoilé, alors elle admet une primitive holomorphe, admettons.

Maintenant, si j'ai une fonction holomorphe sur un ouvert NON étoilé, MAIS que son intégrale sur tout chemin fermé est nulle, admet-elle des primitives holomorphes ? Sous les hypothèses qu'il faut, ensuite, comment l'expliciter ? Je bloque totalement.

Dans l'exercice, la fonction en question est : , sur l'ouvert

L'intégrale de cette fonction sur tout chemin fermé est nulle, et je dois montrer qu'elle admet des primitives.

Comment m'y prendre ? Merci de votre aide !

PS : que peut-on dire en toute généralité pour les fonctions d'intégrale nulle sur tout chemin fermé ?
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[invite57a1e779]

Si l'intégrale de sur tout chemin fermé est nulle, on fixe dans .
Soient dans et un chemin dans , d'origine et d'extrémité .
L'intégrale ne dépend alors que de et non de ; on la note et il reste à montrer que l'on définit ainsi une primitive de .

[invite97a92052]

Tu m'enlèves une grosse épine du pied, je te remercie infiniment ! Ce n'était pas sorcier mais il fallait y penser !
(je suppose que l'extrémité est z et non z₀ =) )

A bientôt et encore merci

[invite57a1e779]

je suppose que l'extrémité est z et non z₀

Oui, sinon l'intégrale serait nulle et indépendante de z...

[A voir en vidéo sur Futura]