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Fonctions holomorphes



  1. #1
    invite43219988

    Fonctions holomorphes


    ------

    Bonjour !
    J'ai quelques petites questions sur les fonctions holomorphes.

    Soit f(z)=exp(z²)/z^3
    le carré de sommets et le cercle unité centré à l'origine.

    Je dois montrer dans un premier temps que

    Cela se voit bien avec un petit dessin.
    En effet, le calcul de
    revient au calcul de
    sur les 4 chemins fermés définies aux quatre coins du carré
    Or, f est holomorphe sur C\{0}.
    f est donc holomorphe sur le quart de plan supérieur gauche (de C) qui est étoilé, donc son intégrale sur le chemin concerné est nulle.
    On trouve la même chose pour les 3 chemins restants.
    On peut donc conclure.
    Question : est-ce que c'est bon ? Dois-je donner nécessairement toutes les paramétrisations en Controle Continu ?

    La deuxieme question consiste donc à calculer leur valeur.
    exp(z²) est holomorphe et 0 est dans le disque de centre 0 et de rayon 1, donc d'après la formule de cauchy, cette intégrale vaut :
    Je voulais savoir si le résultat est juste.


    Maintenant, on me donne U ouvert connexe et f,g :U->C deux fonctions holomorphes.

    1) Montrer que holomorphe entraine f=0 ou g constante.

    Si f non nul, on a holomorphe, donc holomorphe.
    On a encore holomorphe donc u'(z)=0 et par connexité de U, u est constante (u désigne la partie réelle de g)
    On fait la même chose pour v et finalement, g=u+iv est constante.
    Est-ce bon ?

    2)Montrer que si est réelle, alors f et g sont proportionnelles.
    Bah là je n'y arrive pas du tout...

    Dernière question :
    Soit f:C->C une fonction continue, holomorphe sur C\[0,1]. Montrer que f est holomorphe sur C tout entier.
    Je ne vois pas... Je pense qu'il faut utiliser un argument en terme d'ouvert de C qui ne peut pas être inclu dans [0,1] (genre théorème d'inversion locale) mais je bloque quand même.

    Merci d'avance !

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Fonctions holomorphes

    Tout le début me paraît bien.

    Pour la 2), tu as donc lflg=h.f avec h fonction ne prenant que des valeurs réelles. Sur la partie où f ne s'annule pas on a g/f=h/lfl donc réelle et holomorphe... puis +/- continuité.

    Pour la dernière il me semble qu'en prenant un cercle tangent à un point de [0,1] et en considérant la série entière en le centre de ce cercle on s'en sort car je crois me rappeler qu'il y a au moins un point de divergence sur le bord du "disque limite de la convergence" ce qui est impossible donc ça s'étend un "peu plus loin" et le point de [0,1] est un point régulier.

  3. #3
    invite43219988

    Re : Fonctions holomorphes

    Merci pour ta contribution mais je n'ai pas du tout compris la réponse à la question 2)

  4. #4
    God's Breath

    Re : Fonctions holomorphes

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Pour la dernière il me semble qu'en prenant un cercle tangent à un point de [0,1] et en considérant la série entière en le centre de ce cercle on s'en sort car je crois me rappeler qu'il y a au moins un point de divergence sur le bord du "disque limite de la convergence" ce qui est impossible donc ça s'étend un "peu plus loin" et le point de [0,1] est un point régulier.
    Je ne vois pas où serait le fameux point de divergence sur le bord du "disque limite de la convergence" dans le cas de

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    homotopie

    Re : Fonctions holomorphes

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Merci pour ta contribution mais je n'ai pas du tout compris la réponse à la question 2)
    Je ne sais pas ce que tu appelles la "question 2" : la question numérotée 2 ou la deuxième question à laquelle j'ai tenté de répondre.
    Alors vu ma mauvaise écriture pour la question numérotée 2), je réécris en posant z*=conjugué de z.
    On a fg*=h h fonction réelle (pour les valeurs prises).
    On a lfl.g*=ff*g*=(fg*)f*=hf* et en prenant le conjugué lfl.g=h.f
    Aussi sur l'ouvert U=f-1(C\{0}), on a g/f=h/lfl=fonction holomorphe et réelle donc constante réelle=k.
    On finit par continuité de g-kf car les zéros sont isolés donc limite de points de U.
    Sinon pour l'autre :
    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Je ne vois pas où serait le fameux point de divergence sur le bord du "disque limite de la convergence" dans le cas de
    Oui coup de fatigue ce que l'on a c'est l'existence d'un point singulier ce qui ne nous avance pas ou pas de manière évidente en tout cas.
    Pour l'instant je ne vois pas.

  7. #6
    invite43219988

    Re : Fonctions holomorphes

    Je ne sais pas ce que tu appelles la "question 2" : la question numérotée 2 ou la deuxième question à laquelle j'ai tenté de répondre.
    Alors vu ma mauvaise écriture pour la question numérotée 2), je réécris en posant z*=conjugué de z.
    On a fg*=h h fonction réelle (pour les valeurs prises).
    On a lfl.g*=ff*g*=(fg*)f*=hf* et en prenant le conjugué lfl.g=h.f
    Aussi sur l'ouvert U=f-1(C\{0}), on a g/f=h/lfl=fonction holomorphe et réelle donc constante réelle=k.
    On finit par continuité de g-kf car les zéros sont isolés donc limite de points de U.
    Merci c'est bien ça que je n'avais pas compris.
    Il manque juste un carré sur le module de f et c'est tout bon.

    Pour la dernière question qui bloque, elle est dans la partie "questions de cours" d'un CC mais je n'ai pas encore trouvé le lien...

  8. #7
    homotopie

    Re : Fonctions holomorphes

    Re-moi
    on peut exprimer f uniquement avec des points réguliers :

    où C est un cercle dont [0,1] lui est intérieur et z à l'intérieur du disque dont C est le bord.
    En effet, pour z hors [0,1], on entoure [0,1] par deux chemins cr,1 et cr,2 le 1er va de Ar vers Br, le 2ème de Br vers Ar (Ar tend vers 0 Br tend vers 1). On prend un chemin cr,3 qui va de Br vers un point dr sur le cercle C.
    On considère le chemin cr,1"+"cr,3"+"C(pris dans le sens direct)+"cr,3-1"+"cr,2.
    f est holomorphe à l'intérieur du domaine dont ce lacet est le bord donc f(z)=l'intégrale qui va bien qui se décompose en intégrale le long de C, les "c(r,3)" se suppriment, puis intégrale le long de c(r,1)"+"c(r,2). Cette dernière tend vers 0 quand c(r,1) tend vers [0,1] (avec un bon paramétrage) c(r,2) tend vers "[1,0]" avec le paramétrage "opposé" car f est continue sur un voisinage de [0,1].
    On a donc le résultat annoncé pour ces z.
    Maintenant, on a aussi ce résultat pour les z dans [0,1] car l'intégrale ci-dessus et f sont continues et les points de [0,1] sont limites de points de lC\[0,1].
    Maintenant, il n'y a plus qu'à utiliser les propriétés de f sur lC\[0,1] et des fonctions définies par les intégrales pour montrer que f est dérivable en les points de [0,1] et est donc holomorphe.

  9. #8
    invite43219988

    Re : Fonctions holomorphes

    Merci beaucoup

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