Bonjour !
J'ai quelques petites questions sur les fonctions holomorphes.
Soit f(z)=exp(z²)/z^3
le carré de sommets et le cercle unité centré à l'origine.
Je dois montrer dans un premier temps que
Cela se voit bien avec un petit dessin.
En effet, le calcul de
revient au calcul de
sur les 4 chemins fermés définies aux quatre coins du carré
Or, f est holomorphe sur C\{0}.
f est donc holomorphe sur le quart de plan supérieur gauche (de C) qui est étoilé, donc son intégrale sur le chemin concerné est nulle.
On trouve la même chose pour les 3 chemins restants.
On peut donc conclure.
Question : est-ce que c'est bon ? Dois-je donner nécessairement toutes les paramétrisations en Controle Continu ?
La deuxieme question consiste donc à calculer leur valeur.
exp(z²) est holomorphe et 0 est dans le disque de centre 0 et de rayon 1, donc d'après la formule de cauchy, cette intégrale vaut :
Je voulais savoir si le résultat est juste.
Maintenant, on me donne U ouvert connexe et f,g :U->C deux fonctions holomorphes.
1) Montrer que holomorphe entraine f=0 ou g constante.
Si f non nul, on a holomorphe, donc holomorphe.
On a encore holomorphe donc u'(z)=0 et par connexité de U, u est constante (u désigne la partie réelle de g)
On fait la même chose pour v et finalement, g=u+iv est constante.
Est-ce bon ?
2)Montrer que si est réelle, alors f et g sont proportionnelles.
Bah là je n'y arrive pas du tout...
Dernière question :
Soit f:C->C une fonction continue, holomorphe sur C\[0,1]. Montrer que f est holomorphe sur C tout entier.
Je ne vois pas... Je pense qu'il faut utiliser un argument en terme d'ouvert de C qui ne peut pas être inclu dans [0,1] (genre théorème d'inversion locale) mais je bloque quand même.
Merci d'avance !
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