Fonctions holomorphes

invitebb921944 · 21/04/2008, 18h14

Bonjour,
j'ai deux exos qui me posent problème sur lesfonctions holomorphes.

Le premier est le suivant :

Soientt f et g deux fonctions holomorphes sur un ouvert U contenant le disque unité telles que $\text{[math]}$ On considère le chemin $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Prouver que la formule $\text{[math]}$ définit une fonction analytique dans $\text{[math]}$ et donner son dev en série entière au voisinage de 0.

Là je ne vois pas du tout comment partir.

Une deuxième question me pose problème :
Soit $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
Montrer que P est injective sur D(0,1).
Je n'ai pas vraiment d'idée non plus...

Merci pour votre aide.

**invite35452583** · 21/04/2008, 22h05

Pour l'analycité de G, on a :
$\text{[math]}$
Si w₀ n'est pas dans $\text{[math]}$ sous-espace compact car image d'un compact par une application continue, il existe un voisinage de w qui ne coupe pas $\text{[math]}$ .
Ensuite on peux calculer que :
$\text{[math]}$
Grâce à la continuité et la compacité on montre aisément la convergence de $\text{[math]}$ vers une intégrale bien définie donc G est différentiable donc analytique (c'est beau l'analyse complexe à ce niveau).

Ensuite, j'obtiens par la même technique
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Je pense que ça se généralise.
Il reste à exprimer ces intégrales pour w=0 (ce qui simplifie les intégrales).

Pour la deuxième en raisonnant par l'absurde on a :
$\text{[math]}$
Il n'est pas difficile de montrer qu'il y a contradiction ensuite.

**invite35452583** · 21/04/2008, 22h18

Envoyé par homotopie

Il reste à exprimer ces intégrales pour w=0 (ce qui simplifie les intégrales).

Oubli : par le biais du théorème des résidus bien sûr.

invitebb921944 · 22/04/2008, 14h52

Merci pour ces réponses claires !

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Fonctions holomorphes