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Fonctions holomorphes



  1. #1
    invite43219988

    Fonctions holomorphes


    ------

    Bonjour,
    j'ai deux exos qui me posent problème sur lesfonctions holomorphes.

    Le premier est le suivant :

    Soientt f et g deux fonctions holomorphes sur un ouvert U contenant le disque unité telles que On considère le chemin , .


    Prouver que la formule définit une fonction analytique dans et donner son dev en série entière au voisinage de 0.

    Là je ne vois pas du tout comment partir.

    Une deuxième question me pose problème :
    Soit , .
    Montrer que P est injective sur D(0,1).
    Je n'ai pas vraiment d'idée non plus...

    Merci pour votre aide.

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Fonctions holomorphes

    Pour l'analycité de G, on a :

    Si w0 n'est pas dans sous-espace compact car image d'un compact par une application continue, il existe un voisinage de w qui ne coupe pas .
    Ensuite on peux calculer que :

    Grâce à la continuité et la compacité on montre aisément la convergence de vers une intégrale bien définie donc G est différentiable donc analytique (c'est beau l'analyse complexe à ce niveau).

    Ensuite, j'obtiens par la même technique


    Je pense que ça se généralise.
    Il reste à exprimer ces intégrales pour w=0 (ce qui simplifie les intégrales).

    Pour la deuxième en raisonnant par l'absurde on a :

    Il n'est pas difficile de montrer qu'il y a contradiction ensuite.

  3. #3
    homotopie

    Re : Fonctions holomorphes

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Il reste à exprimer ces intégrales pour w=0 (ce qui simplifie les intégrales).
    Oubli : par le biais du théorème des résidus bien sûr.

  4. #4
    invite43219988

    Re : Fonctions holomorphes

    Merci pour ces réponses claires !

  5. A voir en vidéo sur Futura

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