Egalite d'une intégrale et d'une série

[invite7ffe9b6a]

Bonjour,
je n'arrive pas faire cet exercice:


Montrer que:

.

Je precise que cette question est normalment abordable en math sup.

J'ai essaye plusieur chose, du genre ecrire e^t sous forme de serie, calculer lintegrale, separer R en segment [n,n+1] puis faire la difference mais en vain.

Comment faire?

Merci d'avance

EDIT: je sais que la valeur de la 2eme somme peut s'obtenir avec les series de fouriers, cependant elles ne sont pas au programme de math sup et mes connaissances sont limites dans ce domaine. En plus je ne pense pas que remplacer la serie par sa valeur soit bien utile pour ce probleme
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Montrer que:

.

Je precise que cette question est normalment abordable en math sup.

Comment faire?

Il suffit d'écrire et de remarquer que l'on a une forme avec , donc une somme de série géométrique.

Au niveau math sup, il faut être un peu méticuleux quant à la majoration du reste de la série.

[invite7ffe9b6a]

d'accord merci bien

[invite7ffe9b6a]

Je me souviens plus trop comment on montre qu'il ya a convergence uniforme.
Jai tenté de montrer la convergence normale mais je trouve quil nya pas convergence normal.

Il faut donc que je majore le reste mais je n'y arrive pas.

Pouvez vous m'aider?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Je me souviens plus trop comment on montre qu'il ya a convergence uniforme.
Jai tenté de montrer la convergence normale mais je trouve quil nya pas convergence normal.

Il faut donc que je majore le reste mais je n'y arrive pas.

Pouvez vous m'aider?

Le problème, c'est que l'on intègre sur un intervalle non compact, et la convergence uniforme (même obtenue via la convergence normale) est totalement inefficace dans ce cas.

Comme je l'ai dit, il faut être méticuleux.

On considère la série de fonctions de terme général défini sur par .

Pour tout , la série de terme général est géométrique, de raison appartenant à , donc convergente de somme .

On peut envisager d'intégrer la série terme à terme via le théorème de convergence dominée, mais je pense qu'en math sup, c'est un peu "hard".

On calcule donc le reste de la série : avec .

Il reste donc à calculer et à montrer que tend vers 0 en majorant convenablement .

[invite7ffe9b6a]

merci bien.


ps: d'ailleur je me suis planter, cet exo n est pas cense etre abordable en sup.

Les series ne sont pas au programme du programme de sup.

[invite7ffe9b6a]

En faite, si le reste tend vers 0 cela autorise d'echanger somme integrale??
enfin de sommer l'integrale au lieu d integrer la somme?

(jespere m'etre fait comprendre)
Je me rappele que la convergence uniforme autorise ceci.
Mais ceci n'est valable que sur un compact?

En faite , je crois que je visualise pas bien le probleme qu'il ya derriere tou cela.

[invite57a1e779]

En faite, si le reste tend vers 0 cela autorise d'echanger somme integrale??
enfin de sommer l'integrale au lieu d integrer la somme?

Le principe dans tout ces problèmes est d'approcher une fonction par (terme général d'une suite, somme partielle de série...) à près sur un intervalle .
On a donc et la linéarité de l'intégrale permet d'écrire .
Ona donc l'équivalence entre et .
Il faut donc établir cette dernière limite, mais sur l'intégrale du reste, pas sur le reste.

Je me rappele que la convergence uniforme autorise ceci.
Mais ceci n'est valable que sur un compact?

La convergence uniforme donne une majoration de la fonction .
Sur un intervalle compact, on peut en déduire une majoration de l'intégrale.
Mais, dans ton exemple, on intègre sur : une fonction, même "petite", peut avoir une intégrale "énorme", vu la taille de l'intervalle.
Ainsi peut ne pas tendre vers 0, même avec la convergence uniforme de .

[invite7ffe9b6a]

merci pour cette reponse claire et rapide