Bonjour à tous !
J'ai un système de congruence que je voudrais résoudre grace aux théorème des restes chinois mais le problème c'est que je ne suis qu'en terminale et si je demande çà a mon prof il va me demander pour qui je me prend![]()
Je m'en remet donc à vous pour m'expliquer au mieux la méthode.
On a : n congru à 13 ( mod. 19 )
et : n congru à 6 (mod.12)
Dans ce système de congruence, en se servant du théorème des restes chinois ( vu sur le forum par hasard ) on peut résoudre le système en disant que :
PGCD ( 12 , 19 ) = 1 , d'après le théorème des restes chinois, on a :
n = u*12*13 + v*6*19 + k*12*19 avec u,v,k appartenant à Z.
Soit n = 156u + 114v + 228 .
PGCD(19,12) étant égal à 1, d'après le théorème de Bezout, il existe 2 entiers relatifs u et v tels que 19v+12u=1.
Après avoir poser et remonter l'algorithme d'Euclide, on obtient un couple (u,v)=(-5,8).
On a donc : n= 8 * 156 - 5 * 114 + 228k
n = 678 + 228 k
Or 678 = 2 * 228 + 222, on a donc :
n = 222 + 228k, ce qui nous donne l'ensemble des solutions du système.
Mais je n'ai pas bien compris pourquoi nous pouvions affirmer ce qui est en gras, par exemple, pourquoi les u et v trouvés sont-ils les mêmes ?
J'espère que vous voyez ce que je veux dire :s
Merci d'avance.
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