Congruences!

[invite7cecfe41]

please, aidez moi! je n'y arrive pas!

1)prouver les équivalences suivantes:
3x congru 8 modulo10<=>x congru 6 modulo10
x² congru 6 modulo10<=>x congru 6 modulo10 ou x congru 4 modulo10

2)n étant un entier naturel, prouver l'équivalence:
n²+(n+1)²+(n+2)² congru 0 modulo10<=>(n+1)² congru 6 modulo10

3)déterminer tous les multiples naturels de 10 qui sont la somme des carrés de trois entiers consécutifs.

merci d'avance!
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[shokin]

1A) 3x congru 8 modulo10<=>x congru 6 modulo10 [x est entier car x C 6 mod 10 donc x C 6 mod 1]

Tu démontres d'abord dans un sens => :

3x C 8 mod 10 [donc 3x C 8 mod 2 donc 3x est pair donc x est pair]

Tu multiples par 7 pour obtenir un nombre congruent à x à gauche, et à 6 à droite modulo 10 :

donc 21x C 56 mod 10.

donc 20x+x C 50+6 mod 10

Comme 20x et 50 sont multiples de 10 (congruent à 0 modulo 10) [x est entier], on peut les retrancher :

x C 20x+x C 50+6 C 6 mod 10 (la relation de congruence est transitive donc...)

x C 6 mod 10

Tu démontres ensuite dans l'autre sens <= :

Il te suffit de multiplier par 3 les terme de droit, et comme 3*6 C 8 mod 10, ...

CQFD

1B) x² congru 6 modulo10<=>x congru 6 modulo10 ou x congru 4 modulo10

=> x^2 est donc entier, et même pair

tu rajoutes 30 à droite pour obtenir un carré

en effectuant à la racine, tu trouves :

x C +- 6 donc x congruent à 6 ou 4 (4 est congruent à -6 mod 10) mod 10.

<= Tu pars de x C +-6, et effectue en sens inverse...

2) n²+(n+1)²+(n+2)² congru 0 modulo10<=>(n+1)² congru 6 modulo10

ça reviendrait à démontrer que :

n^2+(n+2)^2 C 4 mod 10 et comme n est entier, ...

3) à 6, tu rajoutes 30 pour obtenir n+1 C +-6...

Shokin