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Congruences!



  1. #1
    Bahamut

    Exclamation Congruences!


    ------

    please, aidez moi! je n'y arrive pas!

    1)prouver les équivalences suivantes:
    3x congru 8 modulo10<=>x congru 6 modulo10
    x² congru 6 modulo10<=>x congru 6 modulo10 ou x congru 4 modulo10

    2)n étant un entier naturel, prouver l'équivalence:
    n²+(n+1)²+(n+2)² congru 0 modulo10<=>(n+1)² congru 6 modulo10

    3)déterminer tous les multiples naturels de 10 qui sont la somme des carrés de trois entiers consécutifs.

    merci d'avance!

    -----

  2. #2
    shokin

    Re : Congruences!

    1A) 3x congru 8 modulo10<=>x congru 6 modulo10 [x est entier car x C 6 mod 10 donc x C 6 mod 1]

    Tu démontres d'abord dans un sens => :

    3x C 8 mod 10 [donc 3x C 8 mod 2 donc 3x est pair donc x est pair]

    Tu multiples par 7 pour obtenir un nombre congruent à x à gauche, et à 6 à droite modulo 10 :

    donc 21x C 56 mod 10.

    donc 20x+x C 50+6 mod 10

    Comme 20x et 50 sont multiples de 10 (congruent à 0 modulo 10) [x est entier], on peut les retrancher :

    x C 20x+x C 50+6 C 6 mod 10 (la relation de congruence est transitive donc...)

    x C 6 mod 10

    Tu démontres ensuite dans l'autre sens <= :

    Il te suffit de multiplier par 3 les terme de droit, et comme 3*6 C 8 mod 10, ...

    CQFD

    1B) x² congru 6 modulo10<=>x congru 6 modulo10 ou x congru 4 modulo10

    => x^2 est donc entier, et même pair

    tu rajoutes 30 à droite pour obtenir un carré

    en effectuant à la racine, tu trouves :

    x C +- 6 donc x congruent à 6 ou 4 (4 est congruent à -6 mod 10) mod 10.

    <= Tu pars de x C +-6, et effectue en sens inverse...

    2) n²+(n+1)²+(n+2)² congru 0 modulo10<=>(n+1)² congru 6 modulo10

    ça reviendrait à démontrer que :

    n^2+(n+2)^2 C 4 mod 10 et comme n est entier, ...

    3) à 6, tu rajoutes 30 pour obtenir n+1 C +-6...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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