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congruences



  1. #1
    Gina

    congruences


    ------

    Bonjour à tous !
    Je bloque sur l'exercice d'un devoir :

    1) Soit n un entier tel que n>=2 montrez que n est premier si et seulement si factoriel de (n-1) est congru à -1 modulo n .
    2) Trouver tous les entiers x appartenant à Z tels que ax est congru à a' modulo b quand (a,a',b)= (4,9,7).

    Merci

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : congruences

    Suppose que n ne soit pas premier, il est donc un multiple de p>1, qui est un des nombres dans (n-1)!.
    Alors :
    1*2*3*..*p*...(n-1) = K n + q
    où q est la congruence modulo n (q<n)
    Pas difficile de montrer que q est multiple de p (p>1)
    et pas dur non plus de montrer que q ne peut être égal à (n-1)
    Mais je te laisse réfléchir un peu...

    Je ne comprends pas le second exo : est-ce que 4 x est congru à 9 modulo 7 ?

  4. #3
    Gina

    Re : congruences

    Tout d'abord merci Jeanpaul pour ton aide.
    oui c'est ca et donc il faut trouver tout les x qui vérifie cela mais bon je ne vois pas comment faire...

  5. #4
    Gina

    Re : congruences

    je ne comprends pas comment tu peux affirmer que si n n'est pas premier, alors c'est un multiple de p>1, qui est un des nombres dans (n-1)!.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jeanpaul

    Re : congruences

    Citation Envoyé par Gina Voir le message
    je ne comprends pas comment tu peux affirmer que si n n'est pas premier, alors c'est un multiple de p>1, qui est un des nombres dans (n-1)!.
    Si n n'est pas premier, c'est qu'il a des diviseurs (théorème de La Palice) et ces diviseurs sont forcément plus petits que n donc ils sont forcément dans la liste des nombres qui composent (n-1)!

  8. #6
    danyvio

    Re : congruences

    Juste pour info : ce qui est demandé est ni plus ni moins que la démonstration du théorème de Wilson !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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  10. #7
    Gina

    Re : congruences

    On a pas vu tous ces théorème !!!

  11. #8
    GuYem

    Re : congruences

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Si n n'est pas premier, c'est qu'il a des diviseurs (théorème de La Palice) et ces diviseurs sont forcément plus petits que n donc ils sont forcément dans la liste des nombres qui composent (n-1)!
    J'aurais écrit "La palisse", enfin ce n'est pas le problème.

    Gina, tu dis que tu n'as pas vu ces théorèmes, mais ce ne sont pas des théorèmes, ce sont des définitions !

    Si n n'est pas premier, c'est qu'il a des diviseurs ; un nombre premier étant un nombre qui n'a pas de diviseurs autre que 1 et lui même. Puisque un diviseur de n est toujours plus petit que n, il apparait forcément dans les nombres qui composent (n-1)!


    Je ne fais que répéter ce qu'a dit Jean-Paul, en espérant que tu suives.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #9
    Gina

    Re : congruences

    J'ai regarder sur internet ce qu'est le théorème de Wilson mais je ne comprends pas le terme d'inversibilité, pouvez vous me l'expliquer?

  13. #10
    Gina

    Re : congruences

    Pour Wilson si c'est un théorème.

  14. #11
    Jeanpaul

    Re : congruences

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    J'aurais écrit "La palisse", enfin ce n'est pas le problème.
    Contestation : le sire de La Palice commandait sous François 1er mais on parle de lapalissade par contamination de la ville de Lapalisse :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Lapalissade

    (on s'en fout d'ailleurs)

  15. #12
    Gina

    Re : congruences

    Ca y est j'ai réussi à résoudre l'exercice! Merci pour vos aides!

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