Congruences ...

[Bleyblue]

Bonjour,

Pourriez-vous si'il vous plait vérifier que je ne me suis pas planté dans le raisonnement suivant ?

Je cherche à savoir si 5³⁷¹ + 547¹⁰ est divisible par 14

Ca revient à vérifier si 5³⁷¹ + 547¹⁰ 0(mod14)

Pour ce faire on réduit 5³⁷¹ et 547¹⁰ modulo 14 et on additionne membre à membre.

Allons y :

5³ = 125 = 126- 1 = 14.9 - 1
547 = 546 + 1 = 39.14 + 1
donc

5³ (-1) mod 14
547 1 mod 14

comme 5³⁷¹ = (5&#179¹²³ . 5²

on obtient :

5³⁷¹ =(-1)¹²³.5² (mod14) = -25mod14 = 3 mod 14

547¹⁰ = 1¹⁰ mod14 = 1 mod 14

Et donc :

5³⁷¹ + 547¹⁰ = (3+1) mod 14 = 4 mod 14

Le nombre n'est pas divisible par 14 et le reste de la division(euclidienne) de celui ci par 14 est 4.

Est-ce juste ? (le développement est aussi important que la réponse finale ...)

merci
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[invite4f9b784f]

Je crois que c'est juste..

[Bleyblue]

merci !

J'aurais bien vérifié avec ma calculatrice mais vu la taille du nombre ça n'ira pas ...

[invite4f9b784f]

Oui ca se voit

[A voir en vidéo sur Futura]