Transformée de fourier

[invite176531fd]

Bonjour,

J'ai quelques soucis concernant l'exo 4 que je joins à ce message :

1) D'abord sur les fonctions Test.
je rappelle la définition il s'agit de fonction C infini et à support compact.
Comment montrer dès lors qu'un poduit de deux fctns test est une fonction test. En fait c'est la notion de support qui coinçe ( déf exacte ? )... comment montrer que le support obtenu est compact ?
Si vous avez une démo rigoureuse je suis preneur...

2) Comment prouver qu'une fonction test nulle en zéro peut s'écrire comme le produit de x fois une autre fonction test non nulle en 0.
Pour un polynôme c'est trivial , mais pour une fonction test ?
Je pense qu'étant Cinfini on peut dire que la fonction est analytique et je crois qu'y a un théorème qui dit f(z) = g(z) * (z-a)^m ( g(a)différent de 0)
Mais je pense qu'il doit y avoir plus simple...

3) Je ne vois pas enfin comment on se ramène à la transformée de fourier.
Par déf : T(Fourier(f)) = int ( int (exp(-2*i*pi*x*t)*f(t) dt)*fctn test) dx
bref...

I send an SOS to the world... Merci ds ts les cas.
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

J'ai quelques soucis concernant l'exo 4 que je joins à ce message :

1) D'abord sur les fonctions Test.
je rappelle la définition il s'agit de fonction C infini et à support compact.
Comment montrer dès lors qu'un poduit de deux fctns test est une fonction test. En fait c'est la notion de support qui coinçe ( déf exacte ? )... comment montrer que le support obtenu est compact ?
Si vous avez une démo rigoureuse je suis preneur...

2) Comment prouver qu'une fonction test nulle en zéro peut s'écrire comme le produit de x fois une autre fonction test non nulle en 0.
Pour un polynôme c'est trivial , mais pour une fonction test ?
Je pense qu'étant Cinfini on peut dire que la fonction est analytique et je crois qu'y a un théorème qui dit f(z) = g(z) * (z-a)^m ( g(a)différent de 0)
Mais je pense qu'il doit y avoir plus simple...

3) Je ne vois pas enfin comment on se ramène à la transformée de fourier.
Par déf : T(Fourier(f)) = int ( int (exp(-2*i*pi*x*t)*f(t) dt)*fctn test) dx
bref...

I send an SOS to the world... Merci ds ts les cas.

Salut,
Très vite parce que je n'ai pas trop le temps.
Pour le 1/, le produit de 2 fonctions à support compact = fermé+ borné est à support borné car inclus dans l'intersection des 2, et fermé car par définition, un support est fermé (c'est l'adhérence des points où la fonction est non nulle).
Pour le 2/, c'est Taylor avec reste intégral. La fonction g peut s'exprimer en fonction des intégrales n-ièmes de f. Par contre, C^infini n'implique pas analytique ni développable en série entière (cf la fonction exp(-1/x^2) en 0).

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rvz