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Transformée de fourier



  1. #1
    Leonidas9

    Transformée de fourier


    ------

    Bonjour,

    J'ai quelques soucis concernant l'exo 4 que je joins à ce message :

    1) D'abord sur les fonctions Test.
    je rappelle la définition il s'agit de fonction C infini et à support compact.
    Comment montrer dès lors qu'un poduit de deux fctns test est une fonction test. En fait c'est la notion de support qui coinçe ( déf exacte ? )... comment montrer que le support obtenu est compact ?
    Si vous avez une démo rigoureuse je suis preneur...

    2) Comment prouver qu'une fonction test nulle en zéro peut s'écrire comme le produit de x fois une autre fonction test non nulle en 0.
    Pour un polynôme c'est trivial , mais pour une fonction test ?
    Je pense qu'étant Cinfini on peut dire que la fonction est analytique et je crois qu'y a un théorème qui dit f(z) = g(z) * (z-a)^m ( g(a)différent de 0)
    Mais je pense qu'il doit y avoir plus simple...

    3) Je ne vois pas enfin comment on se ramène à la transformée de fourier.
    Par déf : T(Fourier(f)) = int ( int (exp(-2*i*pi*x*t)*f(t) dt)*fctn test) dx
    bref...

    I send an SOS to the world... Merci ds ts les cas.

    -----
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  2. #2
    rvz

    Re : Transformée de fourier

    Citation Envoyé par Leonidas9 Voir le message
    Bonjour,

    J'ai quelques soucis concernant l'exo 4 que je joins à ce message :

    1) D'abord sur les fonctions Test.
    je rappelle la définition il s'agit de fonction C infini et à support compact.
    Comment montrer dès lors qu'un poduit de deux fctns test est une fonction test. En fait c'est la notion de support qui coinçe ( déf exacte ? )... comment montrer que le support obtenu est compact ?
    Si vous avez une démo rigoureuse je suis preneur...

    2) Comment prouver qu'une fonction test nulle en zéro peut s'écrire comme le produit de x fois une autre fonction test non nulle en 0.
    Pour un polynôme c'est trivial , mais pour une fonction test ?
    Je pense qu'étant Cinfini on peut dire que la fonction est analytique et je crois qu'y a un théorème qui dit f(z) = g(z) * (z-a)^m ( g(a)différent de 0)
    Mais je pense qu'il doit y avoir plus simple...

    3) Je ne vois pas enfin comment on se ramène à la transformée de fourier.
    Par déf : T(Fourier(f)) = int ( int (exp(-2*i*pi*x*t)*f(t) dt)*fctn test) dx
    bref...

    I send an SOS to the world... Merci ds ts les cas.
    Salut,
    Très vite parce que je n'ai pas trop le temps.
    Pour le 1/, le produit de 2 fonctions à support compact = fermé+ borné est à support borné car inclus dans l'intersection des 2, et fermé car par définition, un support est fermé (c'est l'adhérence des points où la fonction est non nulle).
    Pour le 2/, c'est Taylor avec reste intégral. La fonction g peut s'exprimer en fonction des intégrales n-ièmes de f. Par contre, C^infini n'implique pas analytique ni développable en série entière (cf la fonction exp(-1/x^2) en 0).

    __
    rvz

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