transformée de fourier

[invite5c6c2cbf]

Salut,

Voila j'ai besoin de votre aide pour un exo !
L'énoncé est le suivant:

soit F(t)=int(f(x)*exp(-2i*pi*t*x) dx) la transformée dourier de f appartenant à L1(R)
soit C(R) l'espace des fonctions contniues et bornées sur Rque l'on munit de la convergence uniforme infinie.
soit C1(R) le sous espace vectoriel de C(R) formé des fonctions continues tendant vers 0 en l'infini.
soit D(R) le sous espace vectoriel de C1(R) formé des fonctions continues à support compact.

1/je dois montrer que que C1(R)est un sous espace vectoriel fermé de C(R) muni de la norme infini (on admet que l'adherence de D(R) dans C(R) est C1(R))

2/monter que phi:f--->F est une application linéaire et continue de L1(R) muni de la norme 1 dans C(R) muni de la norme infinie.

3/utiliser que les fonctions D(R) sont denses dans L1(R) pour monter que phi est à valeurs dans C1(R)

Pour ma part pour la question 1 j'ai pense dire que pour toute suite de fonctions dans C1(R) sa limite sera nulle et cette limite appartient à c(R) car l'application nulle est contniue et bornée donc d'apres la caractérisation sequentielle des fermés, c1(R) est un ferme de C(R). Le probleme est que je n'utilise à aucun moment la norme infinie comme indiqué dans la question

2/pour la linéarite de phi j'ai utlise la linéarite de l'intégrale mais je n'arrive pas montrer que phi est continue.

3/je vois pas comment partir

Merci pour votre aide
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[invite9cf21bce]

Salut !

1/je dois montrer que que C1(R)est un sous espace vectoriel fermé de C(R) muni de la norme infini (on admet que l'adherence de D(R) dans C(R) est C1(R))
...
Pour ma part pour la question 1 j'ai pense dire que pour toute suite de fonctions dans C1(R) sa limite sera nulle
...
Le probleme est que je n'utilise à aucun moment la norme infinie comme indiqué dans la question

La norme infinie sert à définir la convergence. Si une suite de fonctions continues converge au sens de la norme infinie, la limite est continue. Ce n'est pas à prouver.

Toi, ce que tu dois prouver c'est qu'en plus, si les fonctions ont la limite 0 en l'infini, il en est de même de leur limite.

2/monter que phi:f--->F est une application linéaire et continue de L1(R) muni de la norme 1 dans C(R) muni de la norme infinie.
...
2/pour la linéarite de phi j'ai utlise la linéarite de l'intégrale mais je n'arrive pas montrer que phi est continue.

Il s'agit juste ici de trouver un tel que



Ça n'est vraiment pas dur...

La difficulté est plutôt de montrer que si f est L₁ alors F est continue...

3/utiliser que les fonctions D(R) sont denses dans L1(R) pour monter que phi est à valeurs dans C1(R)
...
3/je vois pas comment partir

Commence par montrer que si f est dans D(R), alors F est dans C₁(R). C'est très jouable en faisant un petit changement de variables ad hoc.

Puis généralise à f quelconque en prenant f limite de quelque chose.

Taar.