Equation différentielle non linéaire

**Dark Nemo** · 24/05/2008, 15h17

bonjour,
est-ce que l'équation différentielle:
$\text{[math]}$
admet-elle une solution formelle sans l'apprximation aux petits angles... sachant que les condition initiales sont:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

**Dark Nemo** · 24/05/2008, 15h18

Envoyé par Dark Nemo

bonjour,
est-ce que l'équation différentielle:
$\text{[math]}$
admet-elle une solution formelle sans l'apprximation aux petits angles... sachant que les condition initiales sont:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

cordialement

**God's Breath** · 24/05/2008, 15h27

Envoyé par Dark Nemo

bonjour,
est-ce que l'équation différentielle:
$\text{[math]}$
admet-elle une solution formelle sans l'apprximation aux petits angles... sachant que les condition initiales sont:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Oui la solution constante $\text{[math]}$ parce que les conditions imposent $\text{[math]}$ ...

**Dark Nemo** · 24/05/2008, 18h21

ô temps pour moi... on n'a pas $\text{[math]}$ .
je suis vraiment désolé je me suis laissé entrainé par l'impultion du moment...

donc avec la dérivée seconde différente de 0, y a t'il une solution formelle?

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**God's Breath** · 24/05/2008, 19h19

Envoyé par Dark Nemo

ô temps pour moi... on n'a pas $\text{[math]}$ .
je suis vraiment désolé je me suis laissé entrainé par l'impultion du moment...

donc avec la dérivée seconde différente de 0, y a t'il une solution formelle?

On commence par déterminer l'intégrale première de l'énergie :
$\text{[math]}$ , et l'on intègre en $\text{[math]}$ , et les conditions initiales fournissent $\text{[math]}$ .
On est ramené à résoudre l'équation du premier ordre $\text{[math]}$ .
Le fait que le second membre doit être positif fournit l'intervalle dans lequel $\text{[math]}$ peut prendre ses valeurs.
Pour avoir explicitement une solution, il faut utiliser des fonctions elliptiqes, du type $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**Jeanpaul** · 24/05/2008, 19h22

Si on multiplie des 2 côtés par théta' on peut intégrer et finalement on va voir qu'il faut intégrer la racine de (A + cos(théta))
Et avec un peu d'exercice et de changements de variables on voit que c'est exactement l'intégrale qui permet de calculer la longueur d'un axe d'ellipse, donc intégrable avec des fonctions elliptiques seulement.

P.S. Grillé !

**Dark Nemo** · 24/05/2008, 22h14

ah merci beaucoup de vos réponses...

Equation différentielle non linéaire