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Séries numériques (Somme, convergence...)



  1. #1
    Dooii

    Séries numériques (Somme, convergence...)


    ------

    Bonjour,
    Je me confronte à un exercice sur les séries numériques qui me pose beaucoup de problèmes !

    Voici l'énoncé :

    1. Soit la série . Donner son rayon de convergence ?

    2. Donner la somme de cette série

    3. Etudier la convergence et la somme pour la série

    4. Même chose pour la série


    Pour la question 1, je ne vois pas du tout quel critère utiliser et comment l'utiliser surtout ... J'ai essayé avec le critère d'Alembert mais je trouve un résutalt absurde ...

    En ce qui concerne les questions 2 jusqu'a 4 ... Il doit s'agir d'un problème de méthode ...
    Je n'ai pas vraiment assimilé comment calculer une somme et plus globalement ce que c'est que la "Somme de la série".

    La convergence de la question 3 se calcule simplement a priori grace a d'Alembert ...

    Bref pour conclure je suis complètement paumé dans toutes ses notions ^^.

    Merci de bien vouloir me conseiller et pourquoi pas me mettre sur la bonne route !

    -----

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  3. #2
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Je pense avoir trouvé une piste pour la question 2.
    En effet, la dérivé d'une somme c'est la somme des dérivés.
    Donc il faut trouver la "primitive" de cette série soit : .
    La somme de cette série est admise.
    Il suffit donc de dériver la somme trouvée ...

    Je pense que ce raisonnement tient la route ... mais je n'en suis pas sur du tout

  4. #3
    Ledescat

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Citation Envoyé par Dooii Voir le message
    Je pense que ce raisonnement tient la route ... mais je n'en suis pas sur du tout
    Oui ça tient la route .

    En effet, la dérivé d'une somme c'est la somme des dérivés.
    Oui, sur tout ouvert strictement inclus dans le disque de convergence (ce qui est implicitement le cas).

    Pour le rayon de cv, le quotient de d'Alembert fonctionne !
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    S'il fonctionne ... cela veut dire que je n'ai pas compris le pourquoi du comment.
    Je me suis contenté de calculer la limite de an+1 / an et d'en déduire le rayon de cv ...
    Je dois me tromper sachant que je trouve comme résultat pour le rayon de cv R = 1/x ... ce qui me semble peu probable.

  6. #5
    Ledescat

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Citation Envoyé par Dooii Voir le message
    S'il fonctionne ... cela veut dire que je n'ai pas compris le pourquoi du comment.
    Je me suis contenté de calculer la limite de an+1 / an et d'en déduire le rayon de cv ...
    Je dois me tromper sachant que je trouve comme résultat pour le rayon de cv R = 1/x ... ce qui me semble peu probable.
    |an+1/an|-> |x|, donc le critère est |x|<1, ce qui donne directement que le rayon de cv est 1.
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Ah d'accord !
    J'obtenais le bon résultat mais je l'interprétais mal ...
    Merci beaucoup ^^

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  10. #7
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Quelqu'un aurait une idée pour la 3 et la 4 ?

  11. #8
    God's Breath

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Pourla 3, il suffit d'évaluer le résultat de la question 2 en une valeur bien choisie de x.

    Pour la 4, il suffit de scinder la série pour se ramener à des séries connues.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #9
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Je vais essayer ca et te faire part de mes résultats
    Merci !

  13. #10
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Décidement, je n'y arrive pas pour la question 4.

    Je vois bien qu'il faut utiliser les propriétés des séries alternées mais je n'arrive pas à la dégager proprement ... et ainsi d'en tirer des conclusions ...


  14. #11
    God's Breath

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Quelles sont les valeurs de et de ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  15. #12
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Je viens de comprendre ta décomposition.
    Je n'y avais absolument pas pensé ...

    D'après ta question, les "valeurs" seraient les sommes de chacune des deux séries, et ainsi on en déduit la somme de cete série par soustraction ?
    Petit problème ... je suis incapable de déterminer la somme de ses deux séries xD ...

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  17. #13
    God's Breath

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    La première série est, aux notations près, celle qui a été étudiée dans les questions précédentes.

    La seconde série est tout simplement géométrique.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  18. #14
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Pour la seconde série, en effet j'ai utilisé la loi géométrique.
    Je trouve comme résultat de la somme . Encore une fois, je pense m'être planté ^^.

  19. #15
    God's Breath

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Citation Envoyé par Dooii Voir le message
    Je trouve comme résultat de la somme
    La somme de la série ne peut pas dépendre de !!!

    Tu confonds (pour ) et (pour ).
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  20. #16
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)


    Ce qui nous donnerait 3/4 pour cette somme.
    Je confonds les moutons avec les cochons c'est assez dommage .

    En ce qui concerne la question 3, je ne l'ai pas réussi pour le moment ... donc je ne peux avancer ce point, mais j'y cours .

    Merci

  21. #17
    Dooii

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Je me suis retourné vers la question 3.
    Je prouve la convergence facilement grâce au critère de d'Alembert (1/3 dans ce cas).

    Après pour la somme, j'ai toujours le même problème d'analyse : je n'arrive pas à trouver la méthode ou plutôt les outils pour résoudre ce problème.
    Je pense à une suite géométrique ... mais je n'arrive pas à la "modifier" pour pouvoir l'exploiter :s


  22. #18
    God's Breath

    Re : Séries numériques (Somme, convergence...)

    Citation Envoyé par Dooii Voir le message
    Je me suis retourné vers la question 3.
    La série de la question 3, c'est celle de la question 1 pour une valeur particulière de x.

    Ecris les premiers termes pour comprendre ce qui se passe pour chacune de ces séries !
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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