Séries numériques (Somme, convergence...)

invite257a3715 · 19/02/2009, 16h13

Bonjour,
Je me confronte à un exercice sur les séries numériques qui me pose beaucoup de problèmes !

Voici l'énoncé :

1. Soit la série $\text{[math]}$ . Donner son rayon de convergence ?

2. Donner la somme de cette série

3. Etudier la convergence et la somme pour la série $\text{[math]}$

4. Même chose pour la série $\text{[math]}$

Pour la question 1, je ne vois pas du tout quel critère utiliser et comment l'utiliser surtout ... J'ai essayé avec le critère d'Alembert mais je trouve un résutalt absurde ...

En ce qui concerne les questions 2 jusqu'a 4 ... Il doit s'agir d'un problème de méthode ...
Je n'ai pas vraiment assimilé comment calculer une somme et plus globalement ce que c'est que la "Somme de la série".

La convergence de la question 3 se calcule simplement a priori grace a d'Alembert ...

Bref pour conclure je suis complètement paumé dans toutes ses notions ^^.

Merci de bien vouloir me conseiller et pourquoi pas me mettre sur la bonne route !

invite257a3715 · 19/02/2009, 16h25

Je pense avoir trouvé une piste pour la question 2.
En effet, la dérivé d'une somme c'est la somme des dérivés.
Donc il faut trouver la "primitive" de cette série soit : $\text{[math]}$ .
La somme de cette série est admise.
Il suffit donc de dériver la somme trouvée ...

Je pense que ce raisonnement tient la route ... mais je n'en suis pas sur du tout

invitec053041c · 19/02/2009, 16h33

Envoyé par Dooii

Je pense que ce raisonnement tient la route ... mais je n'en suis pas sur du tout

Oui ça tient la route

.

En effet, la dérivé d'une somme c'est la somme des dérivés.

Oui, sur tout ouvert strictement inclus dans le disque de convergence

(ce qui est implicitement le cas).

Pour le rayon de cv, le quotient de d'Alembert fonctionne !

invite257a3715 · 19/02/2009, 16h40

S'il fonctionne ... cela veut dire que je n'ai pas compris le pourquoi du comment.
Je me suis contenté de calculer la limite de an+1 / an et d'en déduire le rayon de cv ...
Je dois me tromper sachant que je trouve comme résultat pour le rayon de cv R = 1/x ... ce qui me semble peu probable.

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invitec053041c · 19/02/2009, 16h49

Envoyé par Dooii

S'il fonctionne ... cela veut dire que je n'ai pas compris le pourquoi du comment.
Je me suis contenté de calculer la limite de an+1 / an et d'en déduire le rayon de cv ...
Je dois me tromper sachant que je trouve comme résultat pour le rayon de cv R = 1/x ... ce qui me semble peu probable.

|an+1/an|-> |x|, donc le critère est |x|<1, ce qui donne directement que le rayon de cv est 1.

invite257a3715 · 19/02/2009, 16h51

Ah d'accord !
J'obtenais le bon résultat mais je l'interprétais mal ...
Merci beaucoup ^^

invite257a3715 · 20/02/2009, 19h23

Quelqu'un aurait une idée pour la 3 et la 4 ?

invite57a1e779 · 20/02/2009, 19h26

Pourla 3, il suffit d'évaluer le résultat de la question 2 en une valeur bien choisie de x.

Pour la 4, il suffit de scinder la série pour se ramener à des séries connues.

invite257a3715 · 20/02/2009, 19h55

Je vais essayer ca et te faire part de mes résultats

Merci !

invite257a3715 · 21/02/2009, 18h32

Décidement, je n'y arrive pas pour la question 4.

Je vois bien qu'il faut utiliser les propriétés des séries alternées mais je n'arrive pas à la dégager proprement ... et ainsi d'en tirer des conclusions ...

invite57a1e779 · 21/02/2009, 18h39

Quelles sont les valeurs de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ ?

invite257a3715 · 21/02/2009, 18h44

Je viens de comprendre ta décomposition.
Je n'y avais absolument pas pensé ...

D'après ta question, les "valeurs" seraient les sommes de chacune des deux séries, et ainsi on en déduit la somme de cete série par soustraction ?
Petit problème ... je suis incapable de déterminer la somme de ses deux séries xD ...

invite57a1e779 · 21/02/2009, 18h59

La première série est, aux notations près, celle qui a été étudiée dans les questions précédentes.

La seconde série est tout simplement géométrique.

invite257a3715 · 21/02/2009, 19h01

Pour la seconde série, en effet j'ai utilisé la loi géométrique.
Je trouve comme résultat de la somme $\text{[math]}$ . Encore une fois, je pense m'être planté ^^.

invite57a1e779 · 21/02/2009, 19h05

Envoyé par Dooii

Je trouve comme résultat de la somme $\text{[math]}$

La somme de la série ne peut pas dépendre de $\text{[math]}$ !!!

Tu confonds $\text{[math]}$ (pour $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$ (pour $\text{[math]}$ ).

invite257a3715 · 21/02/2009, 19h10

Ce qui nous donnerait 3/4 pour cette somme.
Je confonds les moutons avec les cochons c'est assez dommage

.

En ce qui concerne la question 3, je ne l'ai pas réussi pour le moment ... donc je ne peux avancer ce point, mais j'y cours

.

Merci

invite257a3715 · 21/02/2009, 19h37

Je me suis retourné vers la question 3.
Je prouve la convergence facilement grâce au critère de d'Alembert (1/3 dans ce cas).

Après pour la somme, j'ai toujours le même problème d'analyse : je n'arrive pas à trouver la méthode ou plutôt les outils pour résoudre ce problème.
Je pense à une suite géométrique ... mais je n'arrive pas à la "modifier" pour pouvoir l'exploiter :s

invite57a1e779 · 21/02/2009, 19h48

Envoyé par Dooii

Je me suis retourné vers la question 3.

La série de la question 3, c'est celle de la question 1 pour une valeur particulière de x.

Ecris les premiers termes pour comprendre ce qui se passe pour chacune de ces séries !

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