Convolution

[invite08d562c1]

Je cherche a convoluer e|x| * cos x .
Ma difficulte est sur l' integration de e|x|.cosx

Si quelqu' un a une idee. Merci d' avance
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[monnoliv]

Une idée: passer dans l'espace de Fourier ou la convolution devient une multiplication, un cos c'est deux delta de Dirac il me semble, donc en fait tu dois additionner les deux transformées de Fourier de e^|x| décalées l'une par rapport à l'autre. Mais un décalage de a dans Fourier correspond à une multiplication par e^{jax} dans le domaine spacial, donc on devrait avoir comme solution e^|x|*e^{-jax} + e^|x|*e^{jax}. Enfin un truc du genre. A vérifier, a vaut peut-être 1. Regarde dans une table de Schaum.

[invite88ef51f0]

Salut,
Un cos c'est 3 Dirac : y en a un d'"amplitude 1" en 0... Après il "suffit" de trouver la TF de l'exponentielle, et tu multiplies sans avoir besoin de décaler.

[monnoliv]

Comment ça un cos c'est 3 Dirac ?
Cox(x) = (exp{-jx} + exp{jx})/2 donc c'est bien 2 Dirac.
Il n'y a pas de composante continue, il n'y a pas de Dirac en 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Ouhla !!! Je suis vraiment désolé ! La dernière fois que j'ai convolué, c'était en optique, un 1+cos(x) (qui ressembhle bigrement à un cos vu de très loin ), donc je me suis lamentablement embrouillé
Bref, il suffit de calculer la TF de exp(|x|) (quitte à séparer les cas x>0 et x<0), et tout en découle...

[monnoliv]

Tu as 20 ans d'après ton profil, t'as convolué à 15 ans ou quoi ?
Sinon, 1 + cos x, c'était pour des franges d'interférences ?

[invite88ef51f0]

Non, c'était le mois dernier... mais les fêtes sont passées par là !

Et si je me rappelle bien, il s'agissait de l'étude d'un montage 4f* pour lequel on avait placé une mire sinusoïdale dans le plan de Fourier...

*Si on prend deux lentilles de focale f, qu'on place une première lentille à une distance f de l'objet puis la 2e lentille 2f plus loin et qu'on regarde dans le plan focal image, on peut s'amuser à faire des transformations de Fourier et à filter la TF de l'objet en jouant dans le plan au milieu.

[monnoliv]

Ah ces fêtes ....
Sinon, si l'optique t'intéresse, je te conseille un super bouquin qui traite toute l'optique de Fourier à l'aide d'opérateurs.
C'est J. Shamir, l'auteur. Le titre, je ne l'ai pas sous la main, c'est peut-être "Optical systems and processes"

[invite88ef51f0]

Merci, je note la référence... mais j'ai bien peur que ça finisse dans ma liste de livres à lire dans un futur irréel où j'aurai plein de temps libre

Feynman, Cohen-Tannoudji, Diu, Landau, Shamir, qu'est-ce qu'ils ont tous à écrire des livres !