Loi binomiale

[invitef189dd90]

Salut à tous,

Dans mon cours on dit qu'une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n,p) si :
pour tout k entier naturel, P(X=k) = (k parmi n)*(p^k)*((1-p)^(n-k)).

Ainsi, toute somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p suit une loi binomiale, mais réciproquement, est-ce que toute variable suivant la loi B(n,p) (avec la définition de mon cours) peut s'écrire comme somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p ?

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

La réponse est oui, me semble-t-il (*), mais parfaitement abstraite et difficile à prouver. D'ailleurs, en as-tu vraiment besoin ? La loi Binomiale est simple et bien connue.

Cordialement.

(*) souvenirs d'une discussion sur un autre forum.

[minushabens]

Je ne crois pas que ce soit difficile à prouver. Il faut juste faire attention à définir le bon espace probabilisé. En fait il est plus simple de raisonner sur les lois plutôt que sur les v.a. La loi binomial est la n-ième puissance de convolution de la loi de Bernoulli de même paramètre p. Ca c'est juste le développement du binôme (1-p+px)^n. Ensuite tu as un théorème général qui dit en gros que pour toute loi on peut construire une v.a. qui a cette loi (ici il faut raisonner sur le produit de n loi de Bernoulli, qui correspond à loi conjointe de n v.a. de Bernoulli).

[gg0]

Attention, Minushabens,

il ne s'agit pas de la même loi, mais de la même variable aléatoire; tu n'as pas le choix de l'espace probabilisé !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Ah oui j'ai réagi en statisticien, et c'est vrai qu'on ne se préoccupe pas de contructions effectives.
Je pense qu'il faudrait faire ça: d'abord il faut se donner variables auxiliaires où est à valeurs dans l'ensemble des parties à éléments de l'ensemble . Alors si suit la loi binomiale de paramètres et , on construit ainsi:
- pour dans (l'espace probabilisé) on pose
- on pose si et seulement si

On montre alors que . En effet et

Pour l'indépendance il faut faire un calcul du même genre mais je me suis découragé (surtout de le taper en TeX). Mais sinon, je pense qu'on peut montrer qu'une somme de variables de Bernoulli est binomiale ssi les variables sont indépendantes.

[minushabens]

Je ne peux plus éditer mais je vois que j'ai utilisé k avec deux significations différentes.

Il fallait lire : on pose ssi pour

p..n qu'il est moche le latex sur ce forum...

[invitef189dd90]

D'accord, merci beaucoup !

[minushabens]

Et j'ai encore oublié de préciser que les Yk étaient distribuées uniformément.