loi binomiale

[invite4a9059ea]

Bonsoir ;

Comment démontrer la loi binomiale de paramètre n et p associer à la variable aléatoire X ...

p(X= k) =

Merci
Cdt
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[invitecbade190]

Bonsoir,
Sans comprendre la loi Binomiale, tu mettrais beaucoup de temps pour comprendre la loi Bernoulli.
Pour la loi Bernoulli :
Supposons une experience aléatoire qui ne peut prendre que deux resultats possibles, par exemple le jet d'une pièce de monnaie, on obtient comme resultats possibles : pile ou face.
On modelise toujours ce phénomène à l'aide une variable aleatoire qui ne prend que deux valeurs possibles : et tel que : si on obtient pile , et si on obtient face.
Donc, au lieu de dire quelle est la probabilité que le resultat soit pile, on dit quel est la probabilité pour que ( La même chose pour "face" ) /
Par ailleurs, on note la probabilité pour que , c'est à dire pour que le resultat du jet de la monnaie donne pile : peut être n'importe quoi :
On écrit : et donc :
Tu vois, c'est facile ! Voilà tout le travail pour la loi de Bernoulli.
Passons maintenant, à la loi Binomiale caracterisée également par un type d'experiences aléatoires particulier.
On lance successivement une pièce de monnaie fois ...
Donc, au premier lancer, il y'a pile ou face, dans le second lancer, il y'a pile ou face .... dans le - ième lancer, il y'a pile ou face, C'est à dire pour chaque lancer, on applique une loi qu'on a vu au debut et qui est la loi de Berrnoulli.
Le but de cette dernière experience est de pouvoir modeliser le phenomène suivant : "Après le lancer d'une pièce de monnaie - fois, le nombre d'apparition de pile est tel que est compris entre et " à l'aide d'une variable aléatoire ... Donc, on modelise ce phenomène à l'aide d'une variable aleatoire prenant les valeurs de à , tel que avec compris entre et et qui correspond comme j'ai dit au phenomène ( evenement ) : "Après le lancer d'une pièce de monnaie - fois, le nombre d'apparition de pile est .
Le but de la creation de cette variable aléatoire est de pouvoir calculer la probabilite pour que "Après le lancer d'une pièce de monnaie - fois, le nombre d'apparition de pile soit , et on ecrit
Alors, maintenant il faut calculer la quantité , Autrement dit quel est la probabilité pour que "Après le lancer d'une pièce de monnaie - fois, le nombre d'apparition de pile est :
C'est simple :
Si on prend un resultat quelconque de cette experience, on peut avoir par exemple comme resultat :, alors, la probabilité pour que ce resultat apparait est egale à : selon si le resultat est pile ou face ( facteur ) avec facteur de qui correspond à apparition de pile dans ce resultat. c'est à dire la probabilité pour que ce resultat soit realisé est
Maintenant combien de resultat possible comme ça : :, donnant pile : il y'a resultat possible, et donc, sa probabilité est le nombre de resultat possible comme ça : :, donnant pile, multiplié par la probabilité de chaque resultat : c'est à dire : .

[invite4a9059ea]

merci pour tout ....

Cdt