Distance minimale

[invite1b6d70fc]

Bonjour,

Je pratique les mathématiques à mes heures perdues pour le plaisir uniquement (mon activité professionnelle n'a strictement rien à voir avec cette discipline).

Voilà ma question : soit un segment [a,b] et c dans [a,b], je n'arrive pas à comprendre pourquoi lorsqu'on se donne alpha=min(c-a,b-c), on est assuré que le segment [c-alpha/2, c+alpha/2] est inclus dans [a,b].

Ma difficulté découle du fait (je crois) que je n'arrive pas à donner du sens à la définition de alpha. Quel est l'intérêt de définir un min de cette façon? Il est évident que si c se "balade" dans le segment [a;b], il y aura tjs une fraction du segment avec c comme extrêmité plus petite que l'autre... J'ai bien essayé plusieurs dessins, mais sans trop de succès.

Merci pour votre aide,
Cordialement,
-----

[invite93e0873f]

Bonjour,

Un exemple bien choisi vaut mille mots.

Prenons , et . Donc et sont les distances de aux deux extrémités : la plus petite étant ici clairement la distance 1/3 entre a et c.

Ce faisant, nous savons que si nous excédons (vers la droite ici) d'une distance , la valeur est toujours inférieure à b ; bref, l'intervalle est inclus dans qui est inclus dans . Ainsi, . Cette inclusion a une valeur générale, c'est-à-dire qu'elle tient pour tous les exemples que nous pourrions considérer. L'inclusion n'est pas « stricte » cependant, puisque la définition de oblige en toutes circonstances d'avoir ou (ici, c'est le premier cas qui est réalisé).

Par ailleurs, , donc nous concluons. Dans ce cas, cet intervalle (fermé) est « strictement » inclus dans [a,b] en ce sens qu'il est inclus dans l'intervalle ouvert ]a,b[.

[invite1b6d70fc]

Un grand merci pour votre réponse détaillée que j'ai attentivement étudiée. Il y a juste deux points de détail qui m'échappent ; (1) lorsque vous définissez la valeur d par c+1/3=2/3, on arrive jusqu'au point b? (sauf erreur de ma part bien entendu). (2) Je ne comprends pas pourquoi dans la définition de alpha, on doit nécessairement avoir le min =a ou le min=b. Dans ce cas, vu que par définition le segment débute en a, le min est tjs égal à a (puisque par définition a<b)...je ne vois pas trop.

Pourquoi ne pas positionner c par rapport au milieu du segment (a+b)/2 pour la définition de alpha?

Merci pour cette dernière réponse
Cordialement

[invite51d17075]

Ma difficulté découle du fait (je crois) que je n'arrive pas à donner du sens à la définition de alpha. Quel est l'intérêt de définir un min de cette façon? Il est évident que si c se "balade" dans le segment [a;b], il y aura tjs une fraction du segment avec c comme extrêmité plus petite que l'autre... J'ai bien essayé plusieurs dessins, mais sans trop de succès.

bonjour, , si on ne prend pas alpha =(a+b)/2 c'est pour que l'exercice soit général.; alpha étant tj positif..
mais pour répondre à ta première question
alpha<=c-a et
alpha<=b-c ( il n'y a pas de pb de signe pour alpha car a<=c<=b, donc alpha est tj positif ou nul.
donc c-alpha/2 >= alpha +a - apha/2 = a+alpha/2 donc >a
il en de même pour dire c+apha/2<=b

[A voir en vidéo sur Futura]