système dans Z/nZ

[VeryCuriousMan]

Bonsoir à tous !
J'ai le système suivant
Je l'ai donc résolu de la façon suivante : J'ai multiplié par et ensuite j'ai fait
Puis dans j'ai donc remplacé par et j'obtiens ce qui équivaut à ce qui équivaut à puis on divise par et on a . Le couple marche bien j'ai vérifié.
Par contre quand j'ai et et que je le remplace dans, j'obtiens et en divisant ainsi par 4 j'obtiens ce qui bien sûr ne marche dès que je remplace les termes dans L_1
Pouvez m'expliquez comment j'arrive à cette contradiction alors j'ai utilisé la même méthode dans et ?
Merci d'avance
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[azizovsky]

bonsoir, d'où sort le ?

[gg0]

Bonsoir.

Bizarrement, tu as oublié de dire combien vaut n !!!
Si c'est bien 12, 4 (*) est un diviseur de 0, donc diviser par 4 est impossible. Il y a plusieurs nombres tels que 4x=4 modulo 12, 1, bien sûr, mais aussi 4, 7, 10.
En général, dans Z/nZ, on ne divise pas, on multiplie par l'inverse ... quand il y en a un. 4 n'en a pas.

Cordialement.

(*) je parle de la classe 4, mais j'ai la flemme de mettre les barres

[Médiat]

Bonjour,

Pour être plus précis, le problème vient de ce que Z/12Z n'est pas intègre, et quand vous multipliez la première ligne par 2, vous raisonnez sur 2X = 2Y, malheureusement, à partir de 2X=2Y on ne peut pas en conclure que X=Y, par exemple or

[A voir en vidéo sur Futura]

[VeryCuriousMan]

Re, merci à chacun d'avoir répondu
Effectivement j'avais oublié de préciser que
Si j'ai bien compris je n'ai pas le droit de multiplier une ligne d'un système par un chiffre n'ayant pas d'inverse dans Z/nZ.
Du coup si je reprends mon système :
je m'occupe de car (pour ) est inversible dans et a pour inverse. Je multiplie par et j'obtiens
Ensuite je transpose mon équation dans et j'ai donc .s'annule et donc j'obtiens finalement . Maintenant je ne sais pas comment m'y prendre car on a pas le droit de disiver par , n'étant pas inversible dans . Du coup je me retrouve bloqué. Merci de m'apporter la lumière nécessaire

[gg0]

Bonjour.

Si j'ai bien compris je n'ai pas le droit de multiplier une ligne d'un système par un chiffre n'ayant pas d'inverse dans Z/nZ.

Tu as mal compris. Pourquoi n'aurais-tu pas le droit de multiplier ?
Mais ce qui est vrai, c'est que ça ne donne pas une égalité équivalente. Exactement comme avec les réels, tu peux multiplier 2x=5 par 0 (pas d'inverse), ça donne 0=0.
la règle est vraie dans tous les cas, puisque = veut dire "c'est la même chose". Si a et b sont le même nombre, les multiplier par c redonne le même nombre.

Par contre, ce qui est évident c'est que si n n'a pas d'inverse, diviser par n ne donne rien.

Pour ce que tu as fait, il est facile de chercher parmi les 12 classes modulo 12 celle qui vérifient 2x=8 (pourquoi conserver ce -4 ?).

Mais, comme ta méthode revient à déduire du système des conséquences sur les valeurs possibles pour x et y, tu aurais pu procéder par combinaisons linéaire. Par exemple L2-2L1 donne les valeurs possibles pour y.

Cordialement.

[Médiat]

Par contre, ce qui est évident c'est que si n n'a pas d'inverse, diviser par n ne donne rien.

Ce n'est pas une question d'inverse mais d'intégrité 3a=3b dans Z donne bien a = b alors que 3 n'a pas d'inverse dans Z (mais Z est intègre justement).

[VeryCuriousMan]

Du coup je fais et j'obtiens . Je remplace dans et cela donne soit soit
On remplace maintenant dans et on obtient soit soit . Finalement les chiifres communs entre et dans sont et . Donc les solutions générales sont les couples sont et c'est bien cela ?
@Médiat je n'ai pas bien compris cette histoire d'intégrité ..

[gg0]

Je ne vois pas l'intérêt du deuxième paragraphe ("On remplace maintenant ...)
Tu sais que y=5, et comme 2x=8, on trouve les deux classes qui vérifient cette équation directement.
Reste à vérifier que les résultats trouvés, (4,5) et (10,5) vérifient le système (puisqu'on n'a pas procédé par équivalences).

[VeryCuriousMan]

Oui effectivement il me suffisait de remplacer dans et c'est bon (les couples sont bons, j'ai vérifié). Mais si je remplace uniquement dans , je trouve 4 classes donc 2 sont fausses ... Je ne sais pas pourquoi alors que dans et on a les bonnes classes

[gg0]

Ben ... c'est simplement que x est multiplié par 4, qui lui aussi divise 12. Tu trouves en conséquence que x= .. ou x= ... ou x= ... ou x= ...; sans avoir l'assurance que ces valeurs soient effectivement des solutions. Encore une fois, tu ne procèdes pas par équivalence.
Avec L1, par chance, les deux valeurs trouvées sont effectivement solutions. Mais on ne le sait qu'après avoir vérifié.

Et ta dernière phrase semble vouloir dire que L1 et L2 devraient donner les mêmes conséquences. Pourtant ce ne sont pas des équations équivalentes.

Cordialement

[VeryCuriousMan]

Ben alors comment devrais-je faire pour procéder par équivalence ?
Merci

[gg0]

Ce n'est pas toujours facile. Ici, je ne vois pas. Mais à quoi bon ?

[VeryCuriousMan]

Ok, merci d'avoir pris le temps de répondre