Valeurs propres d'une matrice à constantes

[The_Anonymous]

Bonsoir

Je dois calculer les valeurs propres d'une matrice dont on sait qu'elle n'est pas inversible (donc le déterminant est nul), que la trace de vaut et que la trace de vaut .

On me demande d'abord de déterminer si elle est triangularisable, de déterminer ses valeurs propres, puis de déterminer si elle est diagonalisable.

Pour répondre à la première partie, j'ai pensé intuitivement que oui, et je me demandais si je pouvais prouver ma pensée en disant que toutes les matrices de étaient triangularisables car on peut scinder tout polynôme de degré trois dans . Il me semble ne pas faire d'erreur, mais j'ai peur de dire n'importe quoi.

Quant à la deuxième partie, j'ai essayé de calculer le déterminant d'une matrice quelconque et je trouve

.

Je trouve ensuite , , ainsi que .

J'utilise ces résultats dans mon calcul du polynôme caractéristique de , et j'obtiens :

.

J'étais assez content de moi jusque là dans le sens où tout semblait bien se simplifier, mais j'avoue être coincé sur la fin. Pour trouver les valeurs propres, il me faut trouver les racines de l'équation , mais je reste bien perplexe devant cette question. J'espère en tous cas que je suis arrivé au bon résultat jusqu'ici sans faire d'erreur de calcul, mais je n'arrive pas à changer ce "" de telle sorte que je puisse donner une réponse à ma question.

J'essaierai de répondre à la troisième partie une fois les valeurs propres trouvées

Merci beaucoup d'avance pour les conseils!

Cordialement
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[Seirios]

Bonjour,

Tu te simplifierais énormément la vie si tu supposais que ta matrice est triangulaire ! Ainsi, la trace de A, son déterminant et la trace de A² s'expriment très simplement en fonction des valeurs propres.

[The_Anonymous]

Bonjour,

Tu te simplifierais énormément la vie si tu supposais que ta matrice est triangulaire ! Ainsi, la trace de A, son déterminant et la trace de A² s'expriment très simplement en fonction des valeurs propres.

Bonjour,

Ah oui, effectivement! Je ne sais pas pourquoi je n'y ai pas pensé avant, mais c'est assez évident.

Comme je viens de montrer dans la partie précédente que la matrice était triangularisable, alors je suppose qu'elle est de la forme , et je recalcule alors :

, et .


Mais alors je calcule également .

Je me suis dit alors que développer le polynôme caractéristique pouvait être une idée : j'ai donc procédé et j'ai obtenu

.

Le coefficient du degré deux correspond bien à et celui du degré zéro à . Le polynôme caractéristique est alors .

J'utilise alors l'identité remarquable (assez ingénieux je dois dire) : , utilisée avec les valeurs , et qui donne
.

Donc, pour finir, le polynôme caractéristique est et mes trois valeurs propres sont , et . Pour la troisième partie de l'exercice, je conclus que la matrice est alors diagonalisable puisque les trois valeurs
propres sont distinctes. J'espère que le raisonnement vous parait correct. En tous cas, merci pour l'astuce!

Cordialement

[Seirios]

Je ne vois pas pourquoi tu calcules le polynôme caractéristique : tu sais déjà que tes valeurs propres sont a, d et f, donc tu souhaites simplement résoudre le système dans .

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

Je ne vois pas pourquoi tu calcules le polynôme caractéristique : tu sais déjà que tes valeurs propres sont a, d et f, donc tu souhaites simplement résoudre le système dans .

C'est vrai que j'ai fait compliqué... J'ai bien retrouvé mes trois valeurs en résolvant le système donc j'ai perdu un peu de temps, mais au moins j'ai trouvé le bon résultat!

Merci pour l'aide en tous cas

Cordialement