Diverses questions sur ce qu'il est licite de faire avec des équations différentielles.

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

J'aurais diverses question sur ce qu'on a le droit de faire ou pas dans des équations différentielles.

Etant de formation "physique", je n'utilise les maths qu'en tant qu'outil, je n'ai donc pas de grosses notions théoriques (enfin j'ai grosso modo un bagage prépa, L3 de physique).

Première question :

Dans un cours de M.Q j'ai l'équation de schrodinger suivante :

(*.1)

On peut écrire cette équation en coordonnées sphériques ou en coordonnées cartésienne.

Je voudrais savoir si l'ensemble des solutions de l'équation générale (*.1) ci dessus se retrouve si je cherche les solutions dans une représentation donnée.

Par exemple est ce que en résolvant l'équation en représentation cartésienne je retrouverai TOUTES les solutions de l'équation générale ?

L'ensemble des solutions dépend il donc de la représentation scalaire ?

Si non, pourquoi ? Et surtout, y a t'il un moyen simple de savoir quand on a bien bijection entre des solutions des représentations et quand ce n'est pas le cas ?

En fait apparamment ce n'est pas le cas car on peut trouver des solutions en sphériques qui ne sont pas solutions de (*.1), mais je ne comprends pas comment c'est possible vu qu'on fait juste un changement de réprésentation, mais la quantité derrière est inchangée...?
Merci !!
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[invite93e0873f]

Bonjour,

La réponse dépend de ce que vous entendez par « être solution dans une représentation donnée ».

L'équation de Schrödinger peut être écrite de manière « géométrique », en ce sens qu'elle peut s'interpréter sans avoir recours à aucun système de coordonnées particulier. En ce sens, une solution est une solution, qu'importe la « représentation », c'est-à-dire le système de coordonnées, utilisée. Évidemment, l'expression de la solution change avec le système de coordonnées, mais il s'agit toujours de la même solution. C'est similaire à ce qui se fait, par exemple, en relativité restreinte : les transformations de Lorentz permettent de lier les calculs faits dans un certain référentiel inertiel avec les calculs faits dans n'importe quel autre, mais le temps propre (par exemple) ne change pas foncièrement du fait qu'on le calcule selon un observateur ou un autre.

Par contre, afin de déterminer explicitement quelles sont les solutions de l'équation de Schrödinger pour un potentiel V donné, il faut effectuer des calculs et cela exige en bonne partie de fixer un système de coordonnées. Une fois ceci fait, nous avons des méthodes pour trouver des (et non pas « les ») solutions, par exemple par séparation des variables. Les solutions obtenues par ces méthodes sont des solutions quel que soit le système de coordonnées utilisé, mais il aurait été difficile d'identifier ces solutions précises sans avoir choisi ce système de coordonnées précis et cette méthode précise.

Par exemple, pensez à une particule dans une boîte en une dimension : le potentiel est nul sur un certain intervalle et infini à l'extérieur. Si vous choisissez un système de coordonnées avec origine au bord de la boîte (de sorte que l'intervalle est de la forme [0,L]), les modes s'expriment tous sous la forme . Choisissez maintenant un système de coordonnées un tant soit peut différent, une translation, de sorte que l'origine est maintenant au centre de la boîte (et l'intervalle est de la forme [-L/2, L/2]). Soudainement, les mêmes modes s'expriment sous la forme ou selon la parité de n. Ces solutions sont différentes en apparence, mais sont les mêmes après substitution y = x - L/2. Si le système de coordonnées avait été choisi encore plus complexe, les modes auraient des expressions encore plus étranges, mais ce seraient toujours des solutions de l'équation de Schrödinger exprimée dans ces coordonnées.