Intégrale changement de Variable ?

[invite2bb16845]

Salut,

Quelqu'un pourrait m'expliquer comment ils ont trouvé sin(x) = 2t/(1+t²) ??? ça parrait évident mais je vois pas comment

Merci
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[Médiat]

Bonjour,

sin(x) = sin(2*x/2) ...

[gg0]

Bonjour.

C'est bizarrement rédigé !! la dernière ligne n'est pas équivalente (au sens déduction) de la précédente, mais une classique formule de trigonométrie (sin x, cos x et tan x s'écrivent comme des fractions rationnelles de t=tan x/2).

Cordialement.

[gg0]

C'est rédigé sans soin : la première équivalence est même généralement fausse. Et on n'en a pas besoin pour trouver dx en fonction de dt.
J'explique : si on intégrait sur [20 pi, 21 pi], x/2 serait supérieur à 10 pi, donc pas une valeur possible de 2 arctan(t).
Alors que de t=tan(x/2) on déduit dt =1/2 (1+tan² x/2) dx=(1+t²)/2 dx.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2bb16845]

C'est bon je l'ai trouvé , Merci à vous

sin(x) = sin(2.x/2) = 2 sin(x/2).cos(x/2) = 2.tg(x/2).cos²(x/2) =2tg(x/2) /[ tg(x/2)'] = 2t/(1+t²)

[gg0]

plus directement : cos²(x/2)=1/(1+tan²(x/2))
formule déduisible de sin² a+ cos² a =1
Et attention : cos²(x/2) n'est pas égal à 1//[ tg(x/2)']. Il y a donc un problème dans les deux dernières égalités. Simple à régler.

Cordialement.

[invite2bb16845]

Je ne vois pas pourquoi c'est faux ? pouvez vous être un peu plus clair ?

tg(x/2)' = [cos²(x/2)+sin²(x/2)]// cos²(x/2) = 1// cos²(x/2) ===> cos²(x/2) = 1/tg(x/2)' ,

[gg0]

La dérivée de tan(x/2) est 1/2*tan'(x/2).
Mais comme ce n'est pas non plus 1+t² (toujours la même erreur), les deux erreurs se compensent.

Ce n'est pas intéressant de faire intervenir la dérivation pour obtenir cette formule de base des fonctions trigonométriques, valable aussi pour les sin et cos en degrés ou en grades, contrairement aux formules de dérivation.

[invite2bb16845]

ayayay ... Merci