Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice. Quelqu'un peut il m'aider et m'expliquer comment faire? Merci d'avance
L’expérience montre que le nombre de bactéries ne peut pas croître sans limite comme dans le modèle précédent. Pour améliorer le modèle, on introduit un terme négatif dans l’équation différentielle qui va avoir pour effet de diminuer la vitesse du phénomène. Ce modèle a été imaginé par Verhulst en 1838.
La population à l’instant t est notée g(t), elle est supposée définie sur
l’ensemble des réels positifs ou nuls, dérivable et strictement positive, et elle est solution de l’équation différentielle : y'= y.ln(4) - k.y², où k est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales.
1. Résolution de cette équation différentielle :
a) Prouver, pour toute fonction g dérivable et strictement positive, l’équivalence suivante :
(quelquesoit t supérieur ou égal à 0, g'(t) = g(t).ln 4 - k.(g(t))²) équivaut à
quelquesoit t supérieur ou égal à 0, (1/g)'(t) = (-1/(g(t)).ln4 + k)
b) Résoudre l’équation différentielle : y’ = -y.ln(4) + k.
c)Déduire de a) et b) une expression de g(t) en prenant en compte la condition initiale :
g(0) = 1.
d) On suppose dans cette question que :
g(t ) = ln4/((ln 4 - k).e^-(t.ln4) + k)
Des mesures expérimentales montrent que la population finit par se stabiliser à 100 millions
d’individus. On traduit cette stabilisation par la condition :
lim en +inf de g(t) = 100
Quelle est la valeur de k pour que cette condition soit remplie ?
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