Equations différentielles Ts

[JoOoO]

Bonjour, suite à l'aide d'un des membres du forum j'ai terminé un devoir maison et j'aimerais si possible qu'on vérifie mes résultats,justifications.

On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d'un ordinateur (t est exprimé en années et f(t) en millions de ménages).
On pose t=0 en 1980 et on sait que f(0) = 0,01.
Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution de l'équation différentielle:
(E1): y'=0,022y(20-y).

1) On pose u = 1/f
Démontrer que f est solution de (E1) si, et seulement si, u est solution de l'équation différentielle: (E2): y'= -0,44y + 0,022.

2) Résoudre l'équation (E2) et en déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E1).

3) Démontrer alors que la fonction f est définie sur [0;+inf[ par:
f(t) = 20/(1+1999e^-0,44t)

4)a) Démontrer que pour tout réel de t de [0;+inf[ 0<f(t)<20.
b) En déduire sans calcul que f est strictement croissante sur [0;+inf[.

5) Calculer la limite de f(t) lorsque t tend vers +inf.

Mes réponses:

1)
*On sait que f'=0,022f(20-f)
Or f= 1/u
donc f'= -u'/u²
donc -u'/u² = (0,022/u) x (20-(1/u))
u'= -0,022u(20-(1/u))
u'= -0,44u + 0,022
donc u est solution de E2

*On sait que u'= -0,44u + 0,022
u=1/f et u'= -f'/f²
donc -f'/f²= -0,44/f +0,022
f'= 0,44f - 0,022f²
f'= 0,022f(20-f)

2)(E2): y'= 0,44y + 0,022
Les solutions sont donc les fonctions définies sur R par g(t)= Ce^-0,44t + 0,05 = u = 1/f
donc f(t)= 1/(Ce^-0,44t + 0,05)

3)f(0) = 0,01
f(0)= 1/Ce^0,44t*0 + 0,05)
0,01= 1/(C+0,05)
0,01C + 0,0005 = 1
0,01C= 0,9995
C= 99,95
Donc f(t) = 1/(99,95e^-0,44t + 0,05)
et f(t) = 1/(99,95e^-0,44t + 0,05) * 20
f(t)= 20/(1+1999e^-0,44t)

4)a)20>0 et 1+1999e^-0,44t > 1
donc f(t) > 0
et 20/(1+1999e^-0,44t) < 20 car 1+1999e^-0,44t > 1
donc 0<f(t)<20

(Je ne suis pas sûr de ma justification.)

b)Quand t devient de plus en plus petit, e^-0,44t diminue et donc 1+1999e^-0,44t diminue.
Etant donné que 1+1999e^-0,44t est au dénominateur, 20/(1+1999e^-0,44t) augmente
donc f est strictement croissante sur [0;+inf[.

(Je ne suis pas sûr de ma justification.)

5) lim de 20 quand t tend vers +inf = 20
lim de 1+1999e^-0,44t quand t tend vers +inf = 1
et donc par quotient lim de f(t) quand t tend vers +inf = 20

Merci d'avance.
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[invite0022ecae]

Les solutions sont donc les fonctions définies sur R par g(t)= Ce^-0,44t + 0,05 = u = 1/f

ne pas écrire "=u=1/f"

3)f(0) = 0,01
f(0)= 1/Ce^0,44t*0 + 0,05)

petite erreur de frappe f(0)= 1/(Ce^0,44*0 + 0,05) pas de t

et f(t) = 1/(99,95e^-0,44t + 0,05) * 20

on * par 20 au numérateur et au dénominateur
f(t) = 1*20/((99,95e^-0,44t + 0,05) * 20)

4)a)20>0 et 1+1999e^-0,44t > 1
donc f(t) > 0
et 20/(1+1999e^-0,44t) < 20 car 1+1999e^-0,44t > 1
donc 0<f(t)<20

OK

b)

Quand t devient de plus en plus petit, e^-0,44t diminue

non augmente,

tu cherches à montrer que f est croissante sur [0;+oo[:
or e^-0,44t est décroissante donc 1+1999e^-0,44t également donc f est croissante comme quotient d'une fonction constante(20) et d'une fonction décroissante[/QUOTE]

5) lim de 20 quand t tend vers +inf = 20
lim de 1+1999e^-0,44t quand t tend vers +inf = 1
et donc par quotient lim de f(t) quand t tend vers +inf = 20

OK

[JoOoO]

non augmente,
tu cherches à montrer que f est croissante sur [0;+oo[:
or e^-0,44t est décroissante donc 1+1999e^-0,44t également donc f est croissante comme quotient d'une fonction constante(20) et d'une fonction décroissante

Oui je voulais dire quand t augmente désolé

[invite0022ecae]

Ma rédaction est très insuffisante( c'est ce qu'on fait au brouillon, pas sur une copie), à toi de l'améliorer.
Par exemple on n'écrit pas "e^-0,44t est décroissante" mais la fonction qui à t associe e^-0,44t est décroissante sur [0;+oo[

[A voir en vidéo sur Futura]

[JoOoO]

Merci beaucoup