Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 5 sur 5

Equations différentielles Ts



  1. #1
    JoOoO

    Equations différentielles Ts

    Bonjour, suite à l'aide d'un des membres du forum j'ai terminé un devoir maison et j'aimerais si possible qu'on vérifie mes résultats,justifications.

    On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d'un ordinateur (t est exprimé en années et f(t) en millions de ménages).
    On pose t=0 en 1980 et on sait que f(0) = 0,01.
    Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution de l'équation différentielle:
    (E1): y'=0,022y(20-y).

    1) On pose u = 1/f
    Démontrer que f est solution de (E1) si, et seulement si, u est solution de l'équation différentielle: (E2): y'= -0,44y + 0,022.

    2) Résoudre l'équation (E2) et en déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E1).

    3) Démontrer alors que la fonction f est définie sur [0;+inf[ par:
    f(t) = 20/(1+1999e^-0,44t)

    4)a) Démontrer que pour tout réel de t de [0;+inf[ 0<f(t)<20.
    b) En déduire sans calcul que f est strictement croissante sur [0;+inf[.

    5) Calculer la limite de f(t) lorsque t tend vers +inf.

    Mes réponses:

    1)
    *On sait que f'=0,022f(20-f)
    Or f= 1/u
    donc f'= -u'/u²
    donc -u'/u² = (0,022/u) x (20-(1/u))
    u'= -0,022u(20-(1/u))
    u'= -0,44u + 0,022
    donc u est solution de E2

    *On sait que u'= -0,44u + 0,022
    u=1/f et u'= -f'/f²
    donc -f'/f²= -0,44/f +0,022
    f'= 0,44f - 0,022f²
    f'= 0,022f(20-f)

    2)(E2): y'= 0,44y + 0,022
    Les solutions sont donc les fonctions définies sur R par g(t)= Ce^-0,44t + 0,05 = u = 1/f
    donc f(t)= 1/(Ce^-0,44t + 0,05)

    3)f(0) = 0,01
    f(0)= 1/Ce^0,44t*0 + 0,05)
    0,01= 1/(C+0,05)
    0,01C + 0,0005 = 1
    0,01C= 0,9995
    C= 99,95
    Donc f(t) = 1/(99,95e^-0,44t + 0,05)
    et f(t) = 1/(99,95e^-0,44t + 0,05) * 20
    f(t)= 20/(1+1999e^-0,44t)

    4)a)20>0 et 1+1999e^-0,44t > 1
    donc f(t) > 0
    et 20/(1+1999e^-0,44t) < 20 car 1+1999e^-0,44t > 1
    donc 0<f(t)<20

    (Je ne suis pas sûr de ma justification.)

    b)Quand t devient de plus en plus petit, e^-0,44t diminue et donc 1+1999e^-0,44t diminue.
    Etant donné que 1+1999e^-0,44t est au dénominateur, 20/(1+1999e^-0,44t) augmente
    donc f est strictement croissante sur [0;+inf[.

    (Je ne suis pas sûr de ma justification.)

    5) lim de 20 quand t tend vers +inf = 20
    lim de 1+1999e^-0,44t quand t tend vers +inf = 1
    et donc par quotient lim de f(t) quand t tend vers +inf = 20

    Merci d'avance.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    afolab

    Re : Equations différentielles Ts

    Citation Envoyé par JoOoO Voir le message
    Les solutions sont donc les fonctions définies sur R par g(t)= Ce^-0,44t + 0,05 = u = 1/f
    ne pas écrire "=u=1/f"

    Citation Envoyé par JoOoO Voir le message
    3)f(0) = 0,01
    f(0)= 1/Ce^0,44t*0 + 0,05)
    petite erreur de frappe f(0)= 1/(Ce^0,44*0 + 0,05) pas de t

    Citation Envoyé par JoOoO Voir le message
    et f(t) = 1/(99,95e^-0,44t + 0,05) * 20
    on * par 20 au numérateur et au dénominateur
    f(t) = 1*20/((99,95e^-0,44t + 0,05) * 20)
    Citation Envoyé par JoOoO Voir le message
    4)a)20>0 et 1+1999e^-0,44t > 1
    donc f(t) > 0
    et 20/(1+1999e^-0,44t) < 20 car 1+1999e^-0,44t > 1
    donc 0<f(t)<20
    OK

    b)
    Citation Envoyé par JoOoO Voir le message
    Quand t devient de plus en plus petit, e^-0,44t diminue
    non augmente,

    tu cherches à montrer que f est croissante sur [0;+oo[:
    or e^-0,44t est décroissante donc 1+1999e^-0,44t également donc f est croissante comme quotient d'une fonction constante(20) et d'une fonction décroissante[/QUOTE]
    Citation Envoyé par JoOoO Voir le message
    5) lim de 20 quand t tend vers +inf = 20
    lim de 1+1999e^-0,44t quand t tend vers +inf = 1
    et donc par quotient lim de f(t) quand t tend vers +inf = 20
    OK

  4. #3
    JoOoO

    Re : Equations différentielles Ts

    non augmente,
    tu cherches à montrer que f est croissante sur [0;+oo[:
    or e^-0,44t est décroissante donc 1+1999e^-0,44t également donc f est croissante comme quotient d'une fonction constante(20) et d'une fonction décroissante

    Oui je voulais dire quand t augmente désolé

  5. #4
    afolab

    Re : Equations différentielles Ts

    Ma rédaction est très insuffisante( c'est ce qu'on fait au brouillon, pas sur une copie), à toi de l'améliorer.
    Par exemple on n'écrit pas "e^-0,44t est décroissante" mais la fonction qui à t associe e^-0,44t est décroissante sur [0;+oo[

  6. #5
    JoOoO

    Re : Equations différentielles Ts

    Merci beaucoup

  7. A voir en vidéo sur Futura

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Équations différentielles
    Par ka236 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 19/02/2008, 11h01
  2. Equations différentielles
    Par lexxx dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 12
    Dernier message: 05/02/2007, 19h28
  3. equations differentielles
    Par lexxx dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 21/10/2006, 17h11
  4. Equations différentielles
    Par XM-134 dans le forum Physique
    Réponses: 2
    Dernier message: 20/08/2006, 20h07
  5. Equations différentielles.
    Par alain C dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 24/12/2005, 06h47