Equations différentielles

[invite0e9d082c]

salut,

j'ai du mal à faire mon exo c'est pourquoi je viens demander un peu d'aide.

En général, je n'ai pas trop de mal avec ce sujet mais cet exo me pose probleme.

voila

x' = -3x -4y
y' = 4x -3y systeme differentiel (1)
x(0)=4 ; y(0)=0

x(t) et y(t) solutions du systeme differentiel (1)

Dans le repere orthonormal du plan, on note M(t) le point de coordonnée [x(t);y(t)] pour tout nombre réel t de l'intervalle [0;inf[

1)On considere la fonction "u(t)" definie sur [0;inf[ par :
u(t) = x²(t) + y²(t)

a) Montrer que si les fonctions x et y sont solutions de
(1) alors la fonction u est solution de (2):

u' + 6u=0
u(0) =16 (2)


b) resoudre l'équation différentielle (2)



c)Exprimer la longueur OM(t) en fontion de t

puis on demande de montrer que M(t) est situé à l'interieur d'un cercle de centre 0 dont on determinera le rayon.


C'est le debut de mon exo ,la suite est du meme type.

je voudrais avoir des indications pour repondre a la premiere question et aussi pour montrer que m(t) est à l'interieur d'un cercle.

je vous remercie d'avance pour votre aide.
-----

[invite4793db90]

Salut,

exprime u'+6u en fonction de x, x', y, y', et utilise les équations...

Pour montrer que M(t) est à l'intérieur du cercle, il suffit de remarquer que u est la norme au carré de OM...

Cordialement.

[invite0e9d082c]

euh c peut etre faux

j pense a u'+6u=x'²+y'²+6(7x²-7y²-48xy)

mais sinon je n'ai pas d'autre idée

[invite4793db90]

euh c peut etre faux

Oui...

Comment dérives-tu la fonction ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0e9d082c]

la dérivée est 2.x.x'

donc u'= 2.x.x'+2.y.y'?

[invite4793db90]

Oui, c'est quand même plus joli !

[invite0e9d082c]

donc si x et y sont solution de (1) on a

u' + 6u= 2.x.x'+2.y.y' + 6 (x² + y²)=0?

c' est suffisant ?

[invite0e9d082c]

solution de l'equation différentielle

u(t)=16 exp (-6t)?

[invite4793db90]

Oui pour la solution.

Pour le calcul, tu peux ptet le délayer un peu sur ta copie...

Cordialement.

[invite0e9d082c]

je te remercie pour ton aide

une autre question OM est le rayon du cercle?

[invite0e9d082c]

bonjour j'ai vraiment du mal avec mes devoirs ces jours ci

j'ai tenter de le faire a l'avance pour avoir de le temps de chercher mais il y a des questions qui restent sans response.

voila mon probleme:

je reprend l'enoncé

x' = -3x -4y
y' = 4x -3y systeme differentiel (1)
x(0)=4 ; y(0)=0

x(t) et y(t) solutions du systeme differentiel (1)

Dans le repere orthonormal du plan, on note M(t) le point de coordonnée [x(t);y(t)] pour tout nombre réel t de l'intervalle [0;inf[

On considere la fonction "u(t)" definie sur [0;inf[ par :
u(t) = x²(t) + y²(t)


on demande de montrer que pour tout point t M(t) est à l'intérieur du cercle de centre 0 et il faut determiner le rayon


(pour montrer que M(t) est à l'interieur du cercle il ne faudrait pas comparer la longueur OM(t) a la longueur du rayon?)

puis on demande : si x et y sont solutions de (1) montrer que x est solution du (2)

x"+6x'+25x=0
x(0)=4 x'(0)=-12 (2)

[inviteaf1870ed]

Pour montrer que le point est à l'intérieur du cercle : tu connais x²+y², que peut on dire de OM² ? Comment varie t il en fonction de t ?
POur la dernière question dérive ta première équation et remplace y' par sa valeur en fonction de x et de y. Puis remplace y par sa valeur en fonction de x et x'.

[invite0e9d082c]

je te remercie pour ton aide