Salut à tous,
Voici l'exercice :
Montrer qu'il existetel que
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
Après m'être renseigné, la premièreest un cas particulier du théorème de Livouille, mais j'ai lu qu'on pouvait le montrer par le théorème des accroissements finis, hélas je n'y arrive pas... Merci de votre aide
1) Considérer un polynôme de degré 2, à coefficients entiers, ayant pour racine racine(2). Trouver un tel polynôme et l'appeler P. (indic : faire simple)
2) Considérer P(p/q)-P(racine(2))=A, minorer judicieusement A. (indic: p/q n'est pas racine de P)
3) Majorer A (indic : avec les accroissement finis)
4) Conclure
Cette démonstration est due à Liouville qui l'a utilisée pour montrer que certains nombres qu'il avait construit étaient transcendants.
Merci de ta réponse, voici ce que j'ai fait pour la deuxième question :
Je n'ai pas trop le temps de regarder, mais il me semble qu'il faut utiliser le résultat de la première question pour minorer le sinus du dénominateur,
donc majorer :
afin de montrer que ce terme ne grandit pas n'importe comment. En effet, le sinus d'un angle peut devenir petit, voire nul, quand l'angle croit.
