Intégration et tenseur

[invite9c7554e3]

Bonjour,

en fait je me pose une question de mécanique des milieux continus et ça fait intervenir des tenseurs et intégrations.
En MMC lorsqu'on a un vecteur déplacement U (à trois composantes) on est capable de calculer un tenseur de déformation symétrique (représenté par matrice) à l'aide de la relation :

(avec T la transposée)
ça c'est facile, il suffit de faire des dérivées de U par rapport à des abscisses.

Par contre la question que je me pose est comment pour un donné on peut déterminer le U source de cette déformation de façon unique ?
Je pense que c'est faisable (quoique... on a 6 choses connues pour 3 inconnues) mais je ne sais pas trop comment faire...

sauriez vous comment il faut faire ça ?
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[Universus]

Bonjour,

Notons la position. Étant donné un vecteur déplacement , nous pouvons calculer la matrice (avec i indexant les lignes et j indexant les colonnes) et alors .

Inversement, étant donné , nous pouvons toujours trouver une fonction matricielle telle que : il suffit par exemple de prendre . En fait, n'importe quelle matrice de la sorte s'écrit uniquement sous la forme avec antisymétrique.

La question est : existe-t-il une telle fonction matricielle et une fonction vectorielle telles que ? Chaque ligne de M peut s'interpréter comme un vecteur, donc comme un champ vectoriel ; si existe telle que , alors chaque ligne de M serait un champ gradient, donc de rotationnel nul. Inversement, nous savons que si un champ vectoriel est partout de rotationnel nul (sur un domaine simplement connexe), alors il s'agit d'un champ gradient. Donc il faut et il suffit de trouver une fonction matricielle M telle que chacune de ses lignes a un rotationnel nul.

Nous pouvons calculer le rotationnel des lignes de . Trouver la fonction appropriée revient à chercher une fonction matricielle antisymétrique telle que le rotationnel de chaque ligne vaut l'opposée du rotationnel de la ligne correspondante de . Il est possible de résoudre cette équation différentielle, mais je n'ai pas chercher à voir s'il est possible de trouver une solution antisymétrique. Il faut bien dire que les solutions sont déterminées à un champ gradient près (à une transformation de jauge près)...