Valeurs propres d'une matrice antisymétrique

invite2c46a2cb · 14/03/2015, 17h00

Bonjour,

J'ai un petit bug concernant le problème suivant :

On considère une matrice $\text{[math]}$ antisymétrique de $\text{[math]}$ . J'ai déjà montré, à la question précédente, que pour tout $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$

Cette fois, il s'agit alors de montrer que si $\text{[math]}$ est valeur propre de $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$

Ce que j'ai fait :
En prenant $\text{[math]}$ un vecteur propre associé à $\text{[math]}$ , j'ai dit que $\text{[math]}$
Le truc, c'est que si j'écris $\text{[math]}$ , j'aboutis à $\text{[math]}$
C'est pas du tout ce qu'on veut. Pourtant, j'ai l'impression qu'il faut passer par quelque chose dans le genre, c'est clairement suggéré par la question précédente en tout cas.

Où est l'erreur de raisonnement, et comment corriger ça pour aboutir à la bonne réponse ?

Je vous remercie d'avance.

invite33c0645d · 14/03/2015, 17h43

Attention !

Le produit scalaire est il réel ou complexe ? En effet cela change tout.

A mon avis tu considères ici un produit hermitien à savoir (linéaire à gauche ou a droite) et ANTI-linéraire (àdroite ou à gauche). Ainsi, tu trouves

$\text{[math]}$

En effet une application linéaire $\text{[math]}$ sur un $\text{[math]}$ espace vectoriel $\text{[math]}$ nécessite
$\text{[math]}$ pour un vecteur $\text{[math]}$ et un scalaire $\text{[math]}$ dans l'ensemble $\text{[math]}$ .

Ici tu considère une valeur propre $\lambda_0$ dans la cloture algébrique des réels et donc la linéarité réelle n'a pas raison d'être valable pour un nombre complexe !

invite2c46a2cb · 15/03/2015, 12h14

Envoyé par Suite2

Attention !

Le produit scalaire est il réel ou complexe ? En effet cela change tout.

A mon avis tu considères ici un produit hermitien à savoir (linéaire à gauche ou a droite) et ANTI-linéraire (àdroite ou à gauche). Ainsi, tu trouves

$\text{[math]}$

En effet une application linéaire $\text{[math]}$ sur un $\text{[math]}$ espace vectoriel $\text{[math]}$ nécessite
$\text{[math]}$ pour un vecteur $\text{[math]}$ et un scalaire $\text{[math]}$ dans l'ensemble $\text{[math]}$ .

Ici tu considère une valeur propre $\lambda_0$ dans la cloture algébrique des réels et donc la linéarité réelle n'a pas raison d'être valable pour un nombre complexe !

Mais oui c'est ça ! Je ne sais pas ce qu'est un produit hermitien, mais je comprends mieux le petit paragraphe de l'énoncé pour le produit avec les complexes..
Merci beaucoup !

invite33c0645d · 16/03/2015, 08h09

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