DL en + et - l'infini

[invite33671d94]

Bonjour,

J'ai une fonction f(x)=2*sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1+x^2)

On me demande le DL 3 en 0, ce qui nous donne : 1+x+(x^2)/4 - 3/8x^3 + o(x^3)

Puis l'allure du graph de f en + et - l'infini. Donc en + l'infini : f(x)= x + 1 + 1/(4x) + o(1/x).
Le graph de f est donc asymptote à y = x + 1 et est situé au dessus de son asymptote.

Par contre, mon problème est en - l'infini, est-ce que l'asymptote est toujours la même ou devient y = -x - 1 ? Et le graph de f est-il au dessus ou au dessous ?
J'aimerais comprendre cela de manière générale pour n'importe quelle fonction dont on a le DL en l'infini.

Merci.
-----

[invited8dd7571]

Bonjour,

"DL a l'infini" n'existe pas. Ce que vous avez écrit n'est pas un DL car il y a des termes non polynomiaux (en 1/x). On parle dans ce cas de développement asymptotique.
Il n'y a pas de méthode générale pour les obtenir (a ma connaissance), ce sont souvent des manipulations pour se ramener a des grandeurs qui tendent vers 0 et aux règles des DL (typiquement, factoriser par une puissance de x pour faire apparaitre des puissances de 1/x).

[gg0]

Bonjour Bekorr.

Ton développement asymptotique en +oo est correct, mais la conclusion que tu en tires non : o(1/x) n'a pas de signe déterminé, il faut faire un DA à l'ordre 2 en 1/x pour voir comment est la courbe par rapport à son asymptote.

Pour -oo, la fonction n'étant ni paire ni impaire, il faux refaire le calcul pour savoir. Et on voit que ce n'est pas la même droite qui est asymptote.

Cordialement.