Qu'est-ce que l'infini mathématique ? Est-ce l'infini réel s'il existe ?

[docdocte]

Bonjour,

A bien y regarder il semble que les mathématiques veuillent faire rentrer l'infini dans le fini, en d'autres termes faire de l'infini une composante du fini.

Ma question est de savoir s'il ne vaut pas mieux qualifier à chaque fois le fini ou l'infini sauf à sombrer dans de graves malentendus.

Les ensembles usuels, tels R ou C, sont d'emblée pétris d'une sorte d'espèce d'infini, par construction intellectuelle, de laquelle découle une sorte de fini qui en serait une sorte d'espèce de corollaire exemple la convergence d'une suite réelle vers une limite finie.

==> je pense qu'il est salutaire de qualifier cet infini de mathématique.

...par opposition à l'infini réel, s'il existe bien entendu.

Exemple il est presque immédiat de voir que par un point passent une infinité de droites : dans un repère cartésien xOy voir pour un réel a donné la droite y=ax infiniment proche de y=(a+e)x, e pour "épsilon" qu'il est loisible de rendre aussi petit que voulu eu égard à la constitution (intellectuelle) de l'ensemble des nombres dits "réels" ...

==> maintenant tracer un cercle de centre O de rayon R n'importe lequel fera l'affaire, il est aisé de voir qu'à la fois ce cercle est de longueur finie 2piR et constitué d'une infinité de points puisqu'il coupe une infinité de droites distinctes : ici se donne à voir l'idée selon laquelle les mathématiques semblent vouloir faire rentrer l'infini dans le fini, faire de l'infini une composante du fini ce qui semble pas mal contradictoire si on ne précise pas de quels fini et infini il est question.

Il me semble que dans le monde réel, celui des observations et des mesures, de la vraie vie si on peut dire, le fini -réel- est la négation de l'infini -du même nom- s'il existe : il est évidemment faux de dire que l'univers pourrait être à la fois fini et infini, vrai de dire que s'il est fini il n'est pas infini et inversément.

... ce qui ne semble pas devoir être le cas de l'inifni mathématique, que les mathématiciens semblent vouloir faire rentrer dans le fini -du même nom-, une de ses composantes.

C'est donc la question que je pose : qu'est-ce que l'infini mathématique ? Est-ce l'infini réel s'il existe ?

Merci d'avance de vos lumières étincellantes sur cette question très claire.
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[Médiat]

Bonjour,

Vous avez choisi de vous placer dans le contexte mathématique donc je réagis dans ce contexte :

A bien y regarder il semble que les mathématiques veuillent faire rentrer l'infini dans le fini, en d'autres termes faire de l'infini une composante du fini.

Je n'arrive pas à donner un sens mathématique à cette phrase !

Ma question est de savoir s'il ne vaut pas mieux qualifier à chaque fois le fini ou l'infini sauf à sombrer dans de graves malentendus.

De quels malentendus parlez-vous ?

Les ensembles usuels, tels R ou C, sont d'emblée pétris d'une sorte d'espèce d'infini, par construction intellectuelle, de laquelle découle une sorte de fini qui en serait une sorte d'espèce de corollaire exemple la convergence d'une suite réelle vers une limite finie.

Je n'arrive pas à donner un sens mathématique à cette phrase !

==> je pense qu'il est salutaire de qualifier cet infini de mathématique.

Rassurez-vous, les mathématiques ne parlent que de mathématiques !

Exemple il est presque immédiat de voir que par un point passent une infinité de droites : dans un repère cartésien xOy voir pour un réel a donné la droite y=ax infiniment proche de y=(a+e)x, e pour "épsilon" qu'il est loisible de rendre aussi petit que voulu eu égard à la constitution (intellectuelle) de l'ensemble des nombres dits "réels" ...

C'est quoi la distance entre deux droites concourantes ?

==> maintenant tracer un cercle de centre O de rayon R n'importe lequel fera l'affaire, il est aisé de voir qu'à la fois ce cercle est de longueur finie 2piR et constitué d'une infinité de points puisqu'il coupe une infinité de droites distinctes : ici se donne à voir l'idée selon laquelle les mathématiques semblent vouloir faire rentrer l'infini dans le fini, faire de l'infini une composante du fini ce qui semble pas mal contradictoire si on ne précise pas de quels fini et infini il est question.

Il n'y a que vous pour faire la confusion entre "longueur" et "cardinal".

... ce qui ne semble pas devoir être le cas de l'inifni mathématique, que les mathématiciens semblent vouloir faire rentrer dans le fini -du même nom-, une de ses composantes.

Je n'arrive pas à donner un sens mathématique à cette phrase !

C'est donc la question que je pose : qu'est-ce que l'infini mathématique ?

Il y a de nombreuses réponses dont (liste non exhaustive) :

1) infini potentiel
2) ordinaux
3) cardinaux
4) points à l'infini (topologie, espace projectifs)
5) surréels
6) hyperréels
7) supernaturels
8) supernombres
9) entiers non standards
10) etc.

Est-ce l'infini réel s'il existe ?

Je ne sais pas ce que vous appelez "réel", mais je peux vous dire que cela n'a rien à voir avec les mathématiques !

[Matmat]

C'est donc la question que je pose : qu'est-ce que l'infini mathématique ? Est-ce l'infini réel s'il existe ?

Il vaut mieux considérer que l'infini est un concept uniquement mathématique, et que c'est toujours une négation d'un fini mathématique (quel qu'il soit ) .
Lorsque on parle d'infini pour la réalité on se place toujours dans un modèle mathématique pour que ça ait du sens .

[Amanuensis]

Lorsque on parle d'infini pour la réalité on se place toujours dans un modèle mathématique pour que ça ait du sens .

Très discutable. Extrait de l'encyclopedia universalis:

[Le terme infini] désigne la propriété de certains contenus offerts à la pensée de s'étendre au-delà de toute limite. Il s'emploie donc d'abord là où limite a un sens apparemment originel, il convient aux grandeurs extensives : à l'espace s'étendant à perte de vue au-delà du lieu habité ou contemplé ; au temps auquel l'heure toujours s'arrache ; à la série des nombres dont aucun n'est plus grand – quanta formant séries. Mais le terme infini convient aussi aux grandeurs en tant que continues – aux quanta continua extensifs ou intensifs, où aucune partie du tout n'est la plus petite possible : le continu diminue à l'infini. Les quanta, terre natale de l'infini, ne sont cependant pas son domaine exclusif. L'infini peut désigner une excellence qualitative superlative, au-dessus de la mesure ou des limites humaines, ...

Maintenant, la discussion (titre et message #1) aborde les deux aspects, mathématique et métaphysique (de par "réel" et "existe"). On peut choisir de restreindre la discussion aux aspects mathématiques, mais cela n'adresse pas la question métaphysique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

je comprend cette remarque, mais il serait utile que vous précisiez ce que vous entendez par "métaphysique" qui est encore plus multi-sémantique qu'épistémologie. ( quoi que ? )
les courants sont nombreux n'est ce pas ?
dans ce type de débat, je préfère prendre l'épistémologie comme science de la connaissance, et pas sur l'axe de la philosophie.

[docdocte]

terre natale de l'infini

D'une part j'appelle "infini réel" -s'il existe et c'est important de préciser cela puisqu'en fait personne ne le sait - non je ne sais quel monde "métaphysique" mais simplement celui des observations et des mesures, physique, de la vraie vie si on peut dire.

Ensuite je peux me tromper mais il me semble que les mathématiques sont pas mal paradoxales dans leurs fondements, voire contradictoires, exemple l'idée qu'il y a autant de nombres -une infinité- entre 0 et un milliard qu'entre 0 et un milliardième est plutôt pas mal paradoxale je trouve ... quant à la "terre natale de l'infini" mathématique il me semble qu'elle se trouve dans les ensembles de nombres tels R ou C, constructions intellectuelles en ayant décidé si on peut dire c'est-à-dire que si vous décidez en amont de l'infini il n'y a pas lieu de vous étonner de retrouver ce même infini en aval, dans les équations dans les formules pour mirobolantes qu'elles puissent paraître.

Avec en amont des mathématiques elles-mêmes paradoxales -voire contradictoires- dans leurs fondements, transposées dans le monde "réel", celui de la Physique, y a-t-il lieu de s'étonner de tomber en aval sur des paradoxes tels ceux d'Achille des tortues de lièvres, de Zénon dit d'Elée des flèches qui volent et ne volent pas, des jumeaux dits de Langevin qui vieillissent plus vite là moins vite là-bas, des chats dits de Schodinger morts et vivants dans le même temps sous le même rapport ainsi de suite ... d'autant que souvent des erreurs survenant dans l'interprétation des mesures, du sens qu'elles sont en droit de recevoir.

C'est quoi la distance entre deux droites concourantes ?

Là encore je peux me tromper mais il me semble qu'identifier un point à un nombre ça devrait pouvoir se faire sans trop de problème.

Maintenant si on découpe le cercle précédent, de rayon R centré sur O, dans un métal ou une feuille de carton de façon à le matérialiser, à le faire devenir "réel" au sens précédent, nul doute que sa finitude réelle, physique, tombera sous le sens, que nul de sensé n'osera dire que le disque matériel ainsi obtenu est infini, que son périmètre est infini mais mathématiquement parlant le cercle mathématique est constitué d'une infinité de points.

[ansset]

j'avoue ne pas comprendre ce que tu dis.
je ne cites que ça:

Ensuite je peux me tromper mais il me semble que les mathématiques sont pas mal paradoxales dans leurs fondements, voire contradictoires, exemple l'idée qu'il y a autant de nombres -une infinité- entre 0 et un milliard qu'entre 0 et un milliardième est plutôt pas mal paradoxale je trouve ....

c'est à mon avis, déjà mal comprendre les mathématiques.
Cdt

[Amanuensis]

je comprend cette remarque, mais il serait utile que vous précisiez ce que vous entendez par "métaphysique" qui est encore plus multi-sémantique

Hmm... Réflexions philosophiques sur la nature des choses, en particulier les notions d'être, de réalité et d'existence. J'aurais pu utiliser "ontologie", plus précis.

Mais j'avais précisé "de par 'réel' et 'existe'", ce qui me semblait (et semble toujours) suffisant pour comprendre le sens que j'employais.

On peut engluer toute discussion dans la terminologie ; je n'en vois pas bien l'intérêt dans le contexte de mon message, qui ne cherchait qu'à indiquer une distinction entre discussion limitée aux aspects mathématiques et discussion abordant les aspects philosophique.

[Amanuensis]

D'une part j'appelle "infini réel" -s'il existe et c'est important de préciser cela puisqu'en fait personne ne le sait - non je ne sais quel monde "métaphysique" mais simplement celui des observations et des mesures, physique, de la vraie vie si on peut dire.

Si la philosophie n'est pas ce que vous voulez discuter, alors il est contradictoire d'utiliser des termes comme "réel" (au sens de la réalité) ou le verbe "exister". Il serait donc utile, si tel est votre but, de reformuler vos questions sans employer nulle part ces termes ou équivalent.

(Ce qui, en pratique, devrait limiter la discussion strictement aux aspects mathématiques, et plus précisément à du formalisme.)

[Médiat]

l'idée qu'il y a autant de nombres -une infinité- entre 0 et un milliard qu'entre 0 et un milliardième est plutôt pas mal paradoxale je trouve

Je passe sur les imprécisions de cette formulation, car en tout état de cause, ce n'est pas para-doxal, c'est juste para-"votre intuition/expérience/compréhension".

[ansset]

Hmm... Réflexions philosophiques sur la nature des choses, en particulier les notions d'être, de réalité et d'existence. J'aurais pu utiliser "ontologie", plus précis.

Mais j'avais précisé "de par 'réel' et 'existe'", ce qui me semblait (et semble toujours) suffisant pour comprendre le sens que j'employais.

On peut engluer toute discussion dans la terminologie ; je n'en vois pas bien l'intérêt dans le contexte de mon message, qui ne cherchait qu'à indiquer une distinction entre discussion limitée aux aspects mathématiques et discussion abordant les aspects philosophique.

non,
d'une part je veux justement éviter un engluement terminologique et d'autre part
je n'exclus pas cet axe ( j'ai un profond respect pour la philo ) mais votre réponse suivante à dodocte illustre bien que la question mérite d'être précisée.
cordialement.

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) exemple l'idée qu'il y a autant de nombres -une infinité- entre 0 et un milliard qu'entre 0 et un milliardième est plutôt pas mal paradoxale je trouve ...

Forcément formulé comme tu le fais cela peut paraître paradoxal, mais là tu ne fais pas des maths en disant cela, tu laisses libre cours à ton intuition/imagination (comme te le disais en d'autres termes Médiat) sans chercher à revenir au formalisme mathématique qui appréhende cette question.

Ainsi si l'on en revient aux maths, le concept qui est en jeu ici est celui de cardinal, qui est parfaitement défini et clair comme de l'eau de roche. Ainsi dans ton exemple la fonction est bien évidemment une bijection. Donc les 2 ensembles en question ont bien le même cardinal.

L'erreur c'est de penser que l'intuition que l'on a de la notion de "nombre d'élément(s)" tel qu'on l'utilise dans la vie de tous les jours est applicable à la notion de "cardinal". Cela est valable dans le cas des ensembles finis, mais pas du tout dans le cas des ensembles infinis.

Tu vois, les maths c'est du solide

Cordialement

[Médiat]

Bonsoir,

L'erreur c'est de penser que l'intuition que l'on a de la notion de "nombre d'élément(s)" tel qu'on l'utilise dans la vie de tous les jours est applicable à la notion de "cardinal". Cela est valable dans le cas des ensembles finis, mais pas du tout dans le cas des ensembles infinis.

Comme je me plais à le dire : certains croient que le cardinal d'un ensemble c'est son nombre d'éléments, alors que c'est exactement le contraire : c'est le nombre d'éléments d'un ensemble qui est son cardinal.

[ansset]

suis pas certain que cela rentre ds l'esprit du posteur.
mais c'est mieux en le disant.
Cdt

[pelkin]

Bonsoir,

Comme je me plais à le dire : certains croient que le cardinal d'un ensemble c'est son nombre d'éléments, alors que c'est exactement le contraire : c'est le nombre d'éléments d'un ensemble qui est son cardinal.

Dis moi Médiat, là, it's a joke, afin que je ne meure pas idiot. Oubli d'un smyley ou de "LOL" peut être ?

[Matmat]

Très discutable. Extrait de l'encyclopedia universalis:

[Le terme infini] désigne la propriété de certains contenus offerts à la pensée de s'étendre au-delà de toute limite. Il s'emploie donc d'abord là où limite a un sens apparemment originel, il convient aux grandeurs extensives : à l'espace s'étendant à perte de vue au-delà du lieu habité ou contemplé ; au temps auquel l'heure toujours s'arrache ; à la série des nombres dont aucun n'est plus grand – quanta formant séries. Mais le terme infini convient aussi aux grandeurs en tant que continues – aux quanta continua extensifs ou intensifs, où aucune partie du tout n'est la plus petite possible : le continu diminue à l'infini. Les quanta, terre natale de l'infini, ne sont cependant pas son domaine exclusif. L'infini peut désigner une excellence qualitative superlative, au-dessus de la mesure ou des limites humaines, ...

Maintenant, la discussion (titre et message #1) aborde les deux aspects, mathématique et métaphysique (de par "réel" et "existe"). On peut choisir de restreindre la discussion aux aspects mathématiques, mais cela n'adresse pas la question métaphysique.

L'infini reste,dans l'encyclopédia universalis, comme n'importe quel objet mathématique, un produit de la pensée .
La question de dodocte porte sur l'existence AUSSI de quelque chose de réel ( c'est à dire de quelque chose extérieur à la pensée dans le contexte de cette discussion) : et c'est celà qui est discutable
De plus les mathématiques sont une ontologie, ce n'est pas parce qu'une discussion philosophique se retreint( non sans raison) aux définitions mathématiques des êtres qu'elle se propose d'étudier que nous n'en tirerons que des considérations purement formalistes sans intérêt philosophique ...
La question "Est ce que l'infini réel existe ?" doit être discutée en tenant compte de comment l'infini s'introduit dans les sciences dites de la nature, car ces sciences ont la prétention de dire des vérités sur quelque chose d'extérieur à la pensée en utilisant,entre autre, des produits purs de la pensée .

[ansset]

je ne saisi pas bien votre dernière phrase.
comment peut on penser des concepts qui seraient "extérieurs" à la pensée ?
il me semble que le mot "penser" a deux significations dans votre post !?
Cdt

[Matmat]

Je ne pense pas avoir changé la signification du mot pensée en cours de phrases.
Au cas où ... je réecris la dernière phrase sans utiliser ce mot :

La question "Est ce que l'infini réel existe ?" doit être discutée en tenant compte de comment l'infini s'introduit dans les sciences dites de la nature, car ces sciences ont la prétention de dire des vérités sur la réalité en utilisant,entre autre, des modèles

[ansset]

grrr, je dois le réécrire car déconnecté au moment de l'envoi.
alors je vais faire plus court.
on peut déjà voir que l'infiniment petit pose problème ( heisenbeg, passage obligatoire par les proba, décohérence,.. etc )
pour l'infiniment grand, ne seront nous pas confronté à des soucis du même ordre ( je n'ai pas dit équivalent )
notre univers observable étant ce qu'il est.
il se peut ( et je le pense ) que nos observations et modèles futurs élimineront certaines hypothèses, en donnant plus de crédit à d'autres.
il restera probablement tj une forme d'incertitude.

et, à mon niveau , les question de la matière noire et de l'énergie noire qui sont elles observables, m'intéressent d'avantage que ces notions de finitude de "l univers entier" .

[Médiat]

Dis moi Médiat, là, it's a joke, afin que je ne meure pas idiot. Oubli d'un smyley ou de "LOL" peut être ?

Bonjour,

Non, non pas une blague, même si je le dis sous forme de boutade, ce que je voulais dire c'est que ce n'est pas le concept naïf de "nombre d'éléments" qui définit le concept formel de "cardinal", mais le concept formel de "cardinal" qui définit le concept naïf de "nombre d'éléments" et par conséquent, tout raisonnement doit se baser sur le cardinal, jamais sur le "nombre d'éléments" (sauf si on le traite comme le cardinal).

Bien sûr, dans le cas fini, cette remarque est sans intérêt, par contre dans le cas infini elle est fondamentale, cf. le prétendu paradoxe de docdocte qui en fait illustre simplement que

[pelkin]

Bonjour,

Merci beaucoup pour l'explication, là c'est limpide.

Bonne journée.

[eudea-panjclinne]

99% des mathématiques n'utilise que l'infini potentiel. C'est celui qui permet de définir la limite d'une suite ou le fait qu'une intégrale impropre est égal à .

Exemple : On dit que la suite u(n)= n^2 tend vers si pour tout réel A il existe à entier N à partir duquel n^2>A .

Aucun "nombre infini" n'entre dans cette définition, on utilise simplement le fait que tout entier a des suivants. C'est l'infini potentiel.
On écrit, mais ce n'est qu'une écriture commode, alors


Il existe un infini réel en mathématique, il est postulé dans les axiomes de la théorie des ensembles ZFC. Il permet, entre autre, de dire que IN, qui regroupe tous les entiers naturels est bien un ensemble. Mais il est peu utilisé dans les mathématiques classiques, celles que l'on utilise en physique par exemple.

[Médiat]

Aucun "nombre infini" n'entre dans cette définition

Je suis bien d'accord, j'avais résumé ce point d'une façon brutale : "L'infini potentiel n'existe pas" (en précisant : comme objet mathématique), c'est d'ailleurs une évidence qui découle de la définition de "potentiel" utilisée ici.

[Amanuensis]

Mais il est peu utilisé dans les mathématiques classiques, celles que l'on utilise en physique par exemple.

??? Comment définissez-vous les réels (d'où les complexes, les variétés, etc.) sans l'axiome de l'infini?

[eudea-panjclinne]

En ce qui concerne la construction de IR, à part utiliser cet axiome dans le fait que IN, Q sont considérés comme des ensembles. Je ne vois pas trop où cela intervient. Vous pensez à quelque chose de particulier ?

[Anta.C]

Bonjour,

j'essaye juste de suivre.

De plus les mathématiques sont une ontologie, ce n'est pas parce qu'une discussion philosophique se retreint( non sans raison) aux définitions mathématiques des êtres qu'elle se propose d'étudier que nous n'en tirerons que des considérations purement formalistes sans intérêt philosophique ...

modèles ou mathématiques ? 'philosophique' ou 'en rapport avec la réalité' ? si oui , comment dégager l'intérêt philosophique sinon par l'expérience , donc en sortant du formalisme ( réducteur ) ?

En fait, je ne pense pas avoir compris cette phrase. Pourriez vous svp la reformuler ? merci

[Anta.C]

En ce qui concerne la construction de IR, à part utiliser cet axiome dans le fait que IN, Q sont considérés comme des ensembles. Je ne vois pas trop où cela intervient. Vous pensez à quelque chose de particulier ?

les réels de R sont généralement construits comme des limites de suites convergentes de relatifs, infinies quand la limite n'est pas de Q

[ansset]

les réels de R sont généralement construits comme des limites de suites convergentes de relatifs, infinies quand la limite n'est pas de Q

non, je ne pense pas.
rac(5) est un réel irrationnel avant d'être un limite de suite.

[docdocte]

Je ne pense pas que la notion de "potentialité" soit très mathématique mais bon j'aurais plutôt tendance à penser que les mathématiques singent la temporalité davantage qu'elles ne la subissent ou éprouvent ou décrivent, ce que font en revanche continûment les physiciens.

Epelez, écrivez en toutes lettres la convergence d'une suite réelle Un vers une limite finie L : QUELQUE SOIT EPSILON NOMBRE DIT "reel" POSITIF IL EXISTE n0 DANS N TEL QUE POUR TOUT n -dans N- SUPERIEUR OU EGAL A n0, VALEUR ABSOLUE DE Un MOINS L EST INFERIEURE OU EGALE A EPSILON ==> vous pensez bien qu'une fois créés les nombres existent de toute éternité si on peut dire, le n0 n'a que faire d'epsilon celui-là plutôt que tel autre, pour exister de toute éternité une fois créé si on peut dire, vous voyez bien ...

Les objets physiques ou de la Physique sont autant de réalités positives tels la seconde -c'est-à-dire le temps du physicien- ou le kilogramme ou le newton ainsi de suite.

Hélas l'infini "réel" -au sens précédent- s'il existe n'est pas une réalité positive, un objet physique.

Ce qui n'empêchent pas les physiciens parfois d'y recourir, en hissant indûment au rang de réalité physique ce qui d'un point de vue physique n'est pas du tout défini, ce qui en revanche d'un point de vue mathématique l'est parfaitement -défini-.

Exemple la "densité infinie" de l'univers -physique- primordial si souvent évoquée dans des ouvrages de vulgarisation scientifique :

1) déjà le terme est malhabile, "masse volumique" serait plus juste

2) ensuite densité de quoi nul ne le sait vu qu'à ces heures nul ne s'y trouvait pour voir ce que c'était

3) pour finir "infinie" qu'est-ce que ça veut dire concrètement, hélas qu'est-ce que l'infini réel s'il existe nul ne le sait.

... c'est d'ailleurs pas mal contradictoire je trouve de faire commencer l'univers -physique- par quelque chose d'infini c'est-à-dire de non fini.

Comment quelque chose de non fini pourrait-il commencer c'est ce qu'il faudrait savoir.

[eudea-panjclinne]

les réels de R sont généralement construits comme des limites de suites convergentes de relatifs, infinies quand la limite n'est pas de Q

Si on considère la construction des réels par les suites de Cauchy, il apparait dans cette construction qu'un réel est une suite de Cauchy ou plutôt une classe d'équivalence par une certaine relation (voir détail dans le lien ci-dessous).
Une suite de Cauchy u étant une application de IN vers Q, certaines de ces suites définissent des bijections de IN vers u(Q). Une suite de Cauchy en général est donc une collection d'une infinité d'éléments, c'est ici peut-être qu'intervient encore une fois l'axiome de l'infini pour dire qu'une suite de Cauchy est bien un ensemble. Chaque réel apparait comme étant un ensemble infini !

Suites de Cauchy