Application de R^2 dans C

[Mikiisa]

Bonjour,

La question peut paraitre simple, mais je me rend compte que j'ai de graves lacunes en analyse de fonctions a plusieurs variables

La fonction est la suivante, définie sur la partie du plan des (x,y) qui vérifient 1<x<y.

où avec Re(a)>0

Je doit montrer qu'elle est continue et bornée. Pour la continuité, je dirais simplement que c'est un produit de fonctions continues mais çà ne me satisfait pas.
Pour le fait qu'elle soit bornée, je vois bien ce qu'il se passe : en prenant le module, le seul cas problematique c'est si Re(b) < 0, mais dans ce cas là, meme si x=1 et y tend vers l'infini, l'exponentielle tendra vers 0 et compensera....

Mais voilà, je n'arrive pas à écrire tout çà proprement :/ Alors je me suis dit qu'il y avait surement un truc ou une astuce pour ecrire çà de façon élégante.

Merci à vous.
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[gg0]

Bonjour.

En séparant les x et les y, f(x,y) sera le produit de deux fonctions clairement continues.
La même méthode permet d'exprimer le module de f(x,y) comme une fonction de dans que tu peux étudier pour montrer qu'elle est bornée.
je suppose que dans les hypothèses, il y a que les parties réelles de et sont strictement positives ?

Cordialement.

[Mikiisa]

Uniquement celle de alpha, celle de Beta n'est pas suppose positive.

Donc c'est ce que j'avait fait, en passant au module, mais je ne sais pas tro comment m'y prendre !

Fixe x et faire tendre y vers l'infini ?

[Mikiisa]

(Sinon c'est facile, le module serait bornée par 1 tout le temps )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited8dd7571]

Bonjour,

Je dis peut-être une bêtise car j'ai lu rapidement, mais j'ai l'impression que vous vous êtes trompé et que le cas Re(b) < 0 est trivial puisque x/y est positif...

Le cas Re(b) > 0 ne pose pas plus de problème car x/y est majoré par 1.

[Mikiisa]

Si Re(b) = -1 par exemple

y/x peut devenir très grand : avec x= 1 et y qui tend vers l'infini par exemple.

Mais cette croissance est largement compenser par exp(a(x-y)) qui tend vers beaucoup plus vite vers 0.

Mais je n'arrive pas l'ecrire

[gg0]

Bonjour.

Je viens de regarder de plus près. On s'en sort bien avec deux études de fonctions.
Tout d'abord, |f(x,y)| = g(x,y) fonction qui fait intervenir x et y et les parties réelles a et b de et . L'idée est de la considérer comme une fonction h(x) définie sur [1;y] et d'étudier h.
Pour b positif, on voit une majoration rapide.
Pour b <0, j'ai séparé en deux cas suivant que y est inférieur ou supérieur à , puisque les variations sont différentes, et étudié les maximums. Dans les deux cas, on est amené à une quantité identique, fonction de y. On étudie cette fonction, elle est bornée, ce qui borne h(x) indépendamment de x et de y.

Au fond, je ne fait que traiter par des études de fonctions ce que tu expliques dans ton message.

Bon travail !

[Mikiisa]

Lol c'est exactement ce que j'avais penser à faire, mais je ne m'en sortait pas en fait d'abord j'avais considéré fonction de y, et bien sur ca ne marchait pas, et puis j'ai penser à considéré fonction de y mais je trouvais aussi un soucis, je m'était peut etre tromper alors.

Merci en tous cas !

[Mikiisa]

Je réup ce sujet car je bloque absolument sur cet exercice

Je doit maintenant montrer que


est continue