Application des probabilités dans un entrepôt

[liklik]

Bonjour à tous,

Je ne suis ni élève, ni étudiant en mathématiques mais je suis face a un problème dans mon travail qui relève des probabilités et mes efforts ont été vain pour trouver la formule mathématiques par moi-même.

Je travail dans un entrepôt ou je dois calculer la distance parcouru par les travailleurs le mois dernier. Dans cet entrepôt il y a quatre zones, A, B, C, D ou sont situés les produits. Ces produits sont prélevés grâce à un ticket qui montre leur localisation. Chaque Ticket ne possède qu'une seule zone et qu'un seul produit.
Il y a par exemple 2000 tickets près de l'imprimante. Le travailleur prélève les 4 premiers tickets de la pile et s'en va ensuite aux zones inscrites sur chaque ticket. Donc, si par chance, les 4 premiers tickets sont de la zone A, alors il aura simplement besoin d'aller à la zone A et revenir. Mais parfois il aura 2 tickets avec A et deux tickets avec B, alors il devra se rendre à deux zones avant de revenir.

1) Avec ce début d'énoncé, j'aimerais savoir quelle est la formule pour calcule le nombre de routes possibles parcouru par le travailleur (en les comptant je suis arrive à 13) sachant que les zones sont en enfilade, A étant la plus près et D la plus loin.

2) Si par exemple il y a parmi ces 20000 tickets : 10000 tickets A, 3000 tickets B, 2500 tickets C, 3500 tickets D, j'aimerais aussi savoir quelle est la probabilité qu'il est parcouru chacune des routes (dont j'aurais calcule la distance) de la question 1

Merci de votre aide !

Liklik
-----

[Samuel9-14]

Bonjour ! Déjà si les salles sont en enfilade, l'ouvrier allant dans la salle D n'a concrètement pas besoin d'aller en A, B ou C, non ? Puisqu'il y passera pour revenir à l'imprimante.
Du coup, ça ne se résume pas à calculer la probabilité que l'ouvrier tire au moins un ticket D, ou qu'il n'en tire pas mais tire un C, ou qu'il ne tire pas pas de C mais que des B et des A ou même qu'il ne tire que des A.

Dans ces cas là j'utiliserais loi binomiale et probabilité conditionnelle (par exemple : on calcule la probabilité qu'il tire au moins un ticket D. Ensuite on calcule la probabilité qu'il tire au moins un C sachant qu'il ne tire pas de D. Mais je ne suis pas sûr de moi, donc avant de développer mon propos, je préfère attendre la confirmation ou l'infirmation d'un autre !)

[liklik]

Bonjour,

Merci pour votre reponse,
Pour précision, par enfilade je veux dire que l'ouvrier est obligé de passer par toutes les zones pour se rendre a la zone D par exemple.
(http://www.mediadico.com/dictionnair...ition/enfilade)

Cordialement

Liklik

[Samuel9-14]

Oui donc ça confirme bien ce que je pensais, il peut prendre les produits en A, B et C quand il se rend en D.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
Moi, je trouve ça
Cas 1 =0.3520 % (jusque A)
Cas 2 =0.1496 % (jusque B)
Cas 3 =0.1638 % (jusque C)
Cas 4 =0.3346 % (jusque D)
Mais j'aimerais bien confirmation par d'autres membres.

[Dlzlogic]

Bon, je change d'avis,
Les pourcentages seraient plutôt
cas 1 : 0.06%
cas 2 : 0.12%
cas 3 : 0.18%
cas 4 : 0.64%

Pardon pour avoir été trop vite.

[Samuel9-14]

Je pense que liklik attend plutôt la démarche à avoir pour trouver ces résultats.

Néanmoins Dlzlogic, est-ce une erreur d'étourderie que de mettre des "%" derrière tes résultats ? Parce que ce ne sont pas des pourcentages que tu as trouvé

De mon côté je trouve que la probabilité d'aller en D est 0.536. En effet, c'est une loi binomiale de paramètre n=4 (tickets), et p=0.175 (3600/20 000). Donc la probabilité de devoir aller au moins une fois en D est P(D1)=1-P(D=0)
J'arrive à P(D)=0.536 où D est l'événement "l'ouvrier se rend au moins une fois en D".

Par contre pour trouver la probabilité de C, c'est-à-dire l'ouvrier ne va pas en D mais va en C je doute un peu.
Je ne pense pas que ça soit une probabilité conditionnelle.

PS : quoiqu'après tout, ça ressemble quand même à une probabilité conditionnelle.
Dans ces cas-là on arriverait à :
P(X)=P(C∩Dbarre)/P(Dbarre)
Où X est l'événement "l'ouvrier se rend en C mais pas en D".

[Dlzlogic]

Oui, naturellement, le '%' est sans signification.
Je me doute bien que Liklik attend la méthode et pas les chiffres, mais comme je ne suis pas sûr de moi, j'attends d'autres avis.
En fait j'ai 2 approches différentes
1- je liste toutes les combinaisons possibles, ça commence par AAAA et ça se termine par DDDD, j'en trouve 35.
la probabilité de chaque combinaison est le produit des probabilités de chaque lettre 0.5^4 pour la première et environ 0.17^4 pour la dernière. Puis j'additionne les probabilités suivant les 4 cas, c'est le premier calcul.
2- je fais une simulation, c'est le second calcul.

Hormis le fait que la somme des nombre de tickets est fausse, les résultats sont sensiblement différents et je n'arrive pas à comprendre pourquoi, s'il y a une faute de raisonnement ou de calcul.
Donc, pour l'instant j'attends d'autres réactions.

[Samuel9-14]

Je n'ai pas vraiment compris ta manip' pour la première méthode...
"Puis j'additionne les probabilités suivant les 4 cas" je ne vois pas trop ce que tu additionnes en fait.

[Samuel9-14]

Ps : non j'ai rien dit, je me suis trompé.

[Dlzlogic]

Là je suis d'accord avec moi-même.
Le premier calcul correspond à un calcul logique et rigoureux.
Cas 1 =9.04%
Cas 2 =15.97%
Cas 3 =22.60%
Cas 4 =52.39%

Le même calcul, en utilisant une méthode de simulation.
cas1 : 753 cas2 : 1419 cas4 : 2278 cas4 : 5550

Petit détail à préciser, il y a une faute entre le nombre des tickets et la somme des 4 types.
J'expliquerai tout cela en détail demain.

[Dlzlogic]

Bon, je crois que le plus simple est encore de mettre le code

int main()
{
/* calcul de trajet dans un entrepot*/
/*2) Si par exemple il y a parmi ces 20000 tickets :
10000 tickets A, 3000 tickets B, 2500 tickets C, 3500 tickets D
On compte en centaines
*/
 FILE *ecr=fopen("Entrepot.txt","at");
 float A=1./1.9;
 float B=0.3/1.9;
 float C=0.25/1.9;
 float D=0.35/1.9;
 float les_cas[35];
 int nbPos[35];
 les_cas[0]= A * A * A * A ; nbPos[0]=1; //*1
 les_cas[1]= A * A * A * B ; nbPos[1]=4;  //*4
 les_cas[2]= A * A * B * B ; nbPos[2]=5;  //*5
 les_cas[3]= A * B * B * B ; nbPos[3]=4;  //*4
 les_cas[4]= B * B * B * B ; nbPos[4]=1;  //*1
 les_cas[5]= A * A * A * C ; nbPos[5]=4;  //*4  début cas 3
 les_cas[6]= A * A * B * C ; nbPos[6]=9;  //*9
 les_cas[7]= A * B * B * C ; nbPos[7]=9;  //*9
 les_cas[8]= B * B * B * C ; nbPos[8]=4;  //*4
 les_cas[9]= A * A * C * C ; nbPos[9]=5;  //*5
 les_cas[10]= A * B * C * C ; nbPos[10]=9; //*9
 les_cas[11]= B * B * C * C ; nbPos[11]=5; //*5
 les_cas[12]= A * C * C * C ; nbPos[12]=4; //*4
 les_cas[13]= B * C * C * C ; nbPos[13]=4; //*4
 les_cas[14]= C * C * C * C ; nbPos[14]=1; //*1
 les_cas[15]= A * A * A * D ; nbPos[15]=4; //*4   début du cas 4
 les_cas[16]= A * A * B * D ; nbPos[16]=9; //*9
 les_cas[17]= A * B * B * D ; nbPos[17]=9; //*9
 les_cas[18]= B * B * B * D ; nbPos[18]=4; //*4
 les_cas[19]= A * A * C * D ; nbPos[19]=9; //*9
 les_cas[20]= A * B * C * D ; nbPos[20]=12; //*12
 les_cas[21]= B * B * C * D ; nbPos[21]=9; //*9
 les_cas[22]= A * C * C * D ; nbPos[22]=9; //*9
 les_cas[23]= B * C * C * D ; nbPos[23]=9; //*9
 les_cas[24]= C * C * C * D ; nbPos[24]=4; //*4
 les_cas[25]= A * A * D * D ; nbPos[25]=5; //*5
 les_cas[26]= A * B * D * D ; nbPos[26]=9; //*9
 les_cas[27]= A * C * D * D ; nbPos[27]=9; //*9
 les_cas[28]= B * B * D * D ; nbPos[28]=5; //*5
 les_cas[29]= B * C * D * D ; nbPos[29]=9; //*9
 les_cas[30]= C * C * D * D ; nbPos[30]=5; //*5
 les_cas[31]= A * D * D * D ; nbPos[31]=4; //*4
 les_cas[32]= B * D * D * D ; nbPos[32]=4; //*4
 les_cas[33]= C * D * D * D ; nbPos[33]=4; //*4
 les_cas[34]= D * D * D * D ; nbPos[34]=1; //*1
 float T=0;
 for (int i=0; i<35; i++)
 {
   T+=les_cas[i]*nbPos[i];
 }

// cas 1
 float Som2=0;
 for (int i=1; i<5; i++)
 {
   Som2+=les_cas[i]*nbPos[i];
//   fprintf(ecr,"i=%d  %f som=%f\n",i,les_cas[i]*nbPos[i],Som);
 }
 float Som3=0;
 for (int i=5; i<15; i++)
 {
   Som3+=les_cas[i]*nbPos[i];
//   fprintf(ecr,"i=%d  %f som=%f\n",i,les_cas[i]*nbPos[i],Som);
 }
 float Som4=0;
 for (int i=15; i<35; i++)
 {
   Som4+=les_cas[i]*nbPos[i];
//   fprintf(ecr,"i=%d  %f som=%f\n",i,les_cas[i]*nbPos[i],Som);
 }
 float F=les_cas[0] + Som2+Som3+Som4;
 fprintf(ecr,"Cas 1 =%0.2f%% \n",les_cas[0]/T * 100);
 fprintf(ecr,"Cas 2 =%0.2f%% \n",Som2/T * 100);
 fprintf(ecr,"Cas 3 =%0.2f%% \n",Som3/T * 100);
 fprintf(ecr,"Cas 4 =%0.2f%% \n",Som4/F * 100);

//Le même calcul par simulation
  randomize();
  int cas1=0;
  int cas2=0;
  int cas3=0;
  int cas4=0;
// on tire 4 tickets sur 200
// si r <100 tA=true;
// si r < 130 tB=true
// si r < 155 tC=true
// sinon tD=true
// si ni tB, ni tC, ni tD ==> cas1
// si ni tC, ni tD ==> cas2
// si  ni tD ==> cas3
// sinon cas 4
  for (int i=0; i<10000; i++)
  {
    bool tA=false;
    bool tB=false;
    bool tC=false;
    bool tD=false;
    for (int it=0; it<4; it++)
    {
      int r=random(190);
      if (r < 100) tA=true;
      else if (r < 130) tB=true;
      else if (r < 155) tC=true;
      else tD=true;
    }  
    if (!tB && !tC && !tD) cas1++;
    else if (!tC && !tD) cas2++;
    else if ( !tD) cas3++;
    else cas4++;
  }
  fprintf(ecr,"cas1 : %d  cas2 : %d  cas4 : %d  cas4 : %d\n",cas1, cas2, cas3, cas4);
 fclose(ecr);

}

La première partie n'est que du simple calcul qui peut être fait avec un tableur quelconque.
Naturellement une relecture est nécessaire.
Les 5 premières lignes contiennent les nombres de tickets du mois.
Naturellement je donnerai toutes les explications demandées.

[Samuel9-14]

Ouais j'ai pas trop le temps de regarder, en tout cas en effet, les sommes données par liklik additionnées donnent 19 000 et non 20 000.
Par contre j'aurais bien aimé que quelqu'un confirme ou infirme ce que je disais :/

[Samuel9-14]

En fait, P(X)=P(C∩Dbarre)...
Et ainsi de de suite, si Y est l'événement, "l'ouvrier se rend en B mais ni en C et ni en D" :
P(Y)=P(C∩Dbarre∩Cbarre)

[liklik]

Bonjour a tous !

Merci pour toutes vos réponses !
J'ai au moins compris une chose : je suis complètement largué !

Je n'ai pas le temps d'étudier en détails les calculs pour comprendre réellement mais je vais m'y atteler des que j'aurais un peu de temps.
Dzlogic, comment obtiens-tu le code ? Peux-tu m'expliquer comment ca marche (quel logiciel,etc)

Et pardonnez-moi pour les chiffres, je me suis bel et bien trompé en arrondissant. Les vrais chiffres sont donc :

cas 1: 10286
cas 2: 2783
cas 3 : 2622
cas 4 : 3500
Total 19191

J'ai également le même calcul a faire avec les chiffres suivant :

cas 1 : 89
cas 2 : 1468
cas 3 : 917
cas 4 : 282
Total : 2756

Mais bon j'espère que vous pourrez m'apporter plus de détails pour que la bille que je suis puisse trouver le résultat sur le deuxième cas !

Bonne journée !

[Samuel9-14]

Je vais reprendre alors, en espérant avoir raison

Déjà je considère que si l'ouvrier se rend en D, alors il n'a "pas besoin" d'aller en A, B, ou C après (puisqu'il prendra tout les produits ABC en allant en D). Dans ce cadre, ce qui m'intéresse est la probabilité de tirer un ticket D, ou à défaut un ticket C, ou à défaut un ticket B etc...
Je considère en outre que c'est un tirage de tickets avec remise, 19191 étant un grand nombre. (on considère que l'ouvrier tire le ticket et peut repiocher le même, celui qu'il vient de tirer juste après, même si c'est impossible en réalité).

On peut calculer la probabiltié de tirer au moins un ticket D avec une loi binomiale.
Soit D l'événement "l'ouvrier tire un ticket D", l'événement contraire est "l'ouvrier ne tire aucun ticket D".
On a donc P(D1)=1-P(D=0). (Deux événements contraires sont liés par la relation : P(X)=1-P(Y) où X et Y sont contraires).

On peut calculer P(D=0) avec la loi binomiale (tu trouveras la relation à utiliser sur internet) :
P(D=0)=0.448
d'où P(D1)=1-0.448=0.552

Cela signifie que l'ouvrier a "55.2% de chance" de tirer un ticket D quand il va à l'imprimante.

On peut ensuite chercher la probabilité que l'ouvrier doive se rendre en C mais pas en D.
Soit Y l'événement "l'ouvrier doit se rendre en C mais pas en D.".
Soit C l'événement "l'ouvrier tire au moins un ticket C".
P(Y)=P(C∩Dbarre)
On a : P(C1)=1-P(C=0). Avec la loi binomiale on arrive à P(C1)=0.466
Soit :
P(Y)=0.466*0.448=0.227

En gros tu as "22.7% de chance" que l'ouvrier se rende en C mais pas en D.

Et ainsi de suite pour A et B. Mais je ne suis pas sur de ces calculs, il faudrait une confirmation. Néanmoins en faisant vite fait tous les calculs à la calculatrice, 'jarrive à une somme de probabilité égale à 1, ça m'a l'air pas mal.

[Dlzlogic]

Bonjour a tous !

Dzlogic, comment obtiens-tu le code ? Peux-tu m'expliquer comment ca marche (quel logiciel,etc)

Et pardonnez-moi pour les chiffres, je me suis bel et bien trompé en arrondissant. Les vrais chiffres sont donc :

cas 1: 10286
cas 2: 2783
cas 3 : 2622
cas 4 : 3500
Total 19191

J'ai également le même calcul a faire avec les chiffres suivant :

cas 1 : 89
cas 2 : 1468
cas 3 : 917
cas 4 : 282
Total : 2756

Bonne journée !

Bonjour,
Pour te rassurer, j'ai déjà vu plus simple comme problème. Je pense en particulier à une gestion de stock dont il a été question dernièrement.

Le code, c'est du C, mais il faut pas s'en faire pour ça.
Je vais faire les calculs avec ces valeurs, et je vais même faire le calcul avec Excel.
Je pense dans la journée.

[liklik]

Bonjour,

Tout merci a Samuel pour ses explications détaillées, j’ai pu enfin comprendre de quoi il retournait. En utilisant Excel, j’ai pu reproduire les formules et les résultats. Mais je trouve des résultats légèrement différents (ex : (D 1)=1-0.447=0.553, ce qui semble avoir une incidence assez conséquente sur le reste des calculs). Pouvez-vous jeter un coup d'oeil a ma capture d'ecran ?

Loi binomiale Excel.png

Par ailleurs, il y a quelque chose que je ne comprends pas. Si on calcul la probabilité d’emprunter le chemin A en soustrayant les probabilités de ne pas aller en D, ni en C, ni en B, on devrait obtenir la même probabilité que d’obtenir 4 fois le ticket A. Or j’obtiens pour le chemin jusqu’à A uniquement 13 % alors que la probabilité d’obtenir le ticket A quatre fois de suite est de seulement 0,09%....
Je continue de creuser mais un coup de pouce serait le bienvenu !

Liklik

[Samuel9-14]

Oui c'est vrai que c'est curieux...
Si on n'a pas de C, pas de B, et pas de D alors on ne devrait avoir que des A ^^

Soit il y a une histoire de probabilité conditionnelle comme je le pensais, soit c'est une autre facette des probabilités qui nous échappe !

[Samuel9-14]

PS : autre possibilité : j'ai complètement faux,d e A à Z ^^

[Seirios]

Bonjour,

Tu as dû supposer les événements et indépendants pour écrire , ce qui ne me semble pas évident (d'un autre côté, les probabilités ce n'est pas vraiment ma tasse de thé...).

Une autre approche serait de numéroter les tickets A, B, C et D (on aurait donc des pour , etc.), puis de dire que l'on forme aléatoirement un mot de quatre lettres sur l'alphabet . On serait alors intéresser par les probabilités des événements :
- Le mot contient au moins un D,
- Le mot contient au moins un C mais pas de D,
- Le mot contient au moins un B mais pas de C et D,
- Le mot ne contient que des A.

Dans ce cas, les probabilités ne semblent pas difficiles à calculer, mais c'est probablement un peu long...

[Samuel9-14]

Ha oui, maintenant je me souviens que j'avais hésité justement pour l'intersection !

[Seirios]

Il y a d'ailleurs un cas analogue plus simple où les événements ne sont justement pas indépendants : On lance deux fois une pièce (non truquée). Soient l'événement "obtenir au moins un pile" et l'événement "obtenir au moins un face". Alors .

[Arzhur]

Bonjour à tous,


Si jamais ça intéresse quelqu'un je me suis amusé à simuler ce problème via un algo type Monte-Carlo (en gros je simule une prise de 4 tickets et je regarde le ticket qui me fait aller le plus loin)...et voici ce que je trouve (en supposant qu'il y a remise) :


Probabilité d'aller en D uniquement : 0.553
Probabilité d'aller en C uniquement : 0.231
Probabilité d'aller en B uniquement : 0.145
Probabilité d'aller en A uniquement : 0.083

Bref mes résultats sont assez similaires avec ceux de Liklik.



Arthur

[Dlzlogic]

L'inconvénient d'une méthode type monte-carlo (simulation), dans le cas présent, est que vous faites une simulation avec remise. Cela fausse légèrement les résultats.

[Samuel9-14]

Ca fausse les résultats pour la 3 ou 4ème décimale, donc ça reste tout à fait correct je pense.

En tout cas on retrouve bien une parfaite similitude pour D et A (logique) entre ta simulation et mes calculs.
Par contre B et C diffèrent légèrement, et donc à cause de mon calcul de C inter Dbarre et B inter Cbarre inter Dbarre.
Si on voulait être rigoureux (je ne crois pas que ça soit le cas ici ?), il faudrait trouver la probabilité de ces intersections, mais je ne vois pas du tout comment.

[Arzhur]

Oui tout à fait,


J'ai posté les résultats "avec remise" pour comparer les avec les résultats précédent ( qui supposaient une remise).

Si ça intéresse j'ai une simulation sans remise mais les proba estimées sont tellement proches de la version "avec remise" que je me demande si elle est bonne (bon après mon intuition en proba n'est pas spécialement développée).


Arthur

[Samuel9-14]

Si si, attends, remettre un ticket ou ne pas le remettre quand tu en as 20 000, ça ne change vraiment rien

[Seirios]

Cela ne change pas grand chose pour les premiers retraits ; mais si le nombre de tickets diminue drastiquement à la fin de la journée sans qu'ils soient renouvelés, ce sera tout autre chose. Tout dépend de ce qui se passe en réalité.

[Samuel9-14]

Oui sur la journée ok, je parlais juste des 4 premiers.