Courbes sur un groupe de Lie

[silk78]

Bonjour,

J'ai une question à propos de groupes de Lie et plus précisément de courbes sur les groupes de Lie.
Soit G un groupe de Lie matriciel et H un sous-groupe, ainsi que et les algèbres de Lie correspondantes. On considère I un intervalle de et une courbe sur G.
Si je ne me trompe pas, pour tout t dans I, M'(t) appartient à l'espace tangent de G en M(t) et par translation à droite, appartient à l'algèbre de Lie .

Ma question est la suivante : supposons que appartienne à pour tout t dans I et que M(a) appartienne à H pour un certain a dans I, a-t-on M à valeur dans H pour tout t ?

Ça me paraitrait plutôt logique (je suppose même que si c'est vrai c'est un résultat classique) mais j'ai du mal à le prouver et je ne trouve pas sur le net. Si quelqu'un a une piste, je suis preneur.

Merci d'avance,
Silk
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[Universus]

Bonjour,

Si je ne me trompe pas, pour tout t dans I, M'(t) appartient à l'espace tangent de G en M(t) et par translation à droite, appartient à l'algèbre de Lie .

Vous ne vous trompez pas : il s'agit de la dérivée de Darboux (à droite) de l'application M.

Ma question est la suivante : supposons que appartienne à pour tout t dans I et que M(a) appartienne à H pour un certain a dans I, a-t-on M à valeur dans H pour tout t ?

Vous faîtes erreur. Par exemple, supposons que G est connexe. Si H est un sous-groupe de Lie fermé propre, alors il s'agit d'une sous-variété plongée du groupe (de Lie) G. Dans ce cas, H est de codimension au moins 1 et il est toujours possible de perturber une courbe dans H afin qu'elle ne soit plus dans H.

Une autre façon de le voir : il n'y a pas de raison pour qu'une courbe dans l'algèbre de Lie g soit obligatoirement dans h, même si elle croise cette sous-algèbre de Lie. Or, toute courbe dans g s'intègre en une courbe sur G (l'intégration est l'opération inverse à la dérivée de Darboux).

Il faut et il suffit que la dérivée de Darboux de M appartienne à h pour que M elle-même appartienne à H.

[silk78]

Bonjour Universus,

Merci beaucoup pour la réponse. En fait, je me suis trompé dans l'énonce je voulais dire supposons que M'(t)M(t)^{-1} appartienne à h pour tout t (effectivement je vois bien que si cette dérivée de Darboux est en dehors de h, il n'y a aucune raison que la courbe reste dans H, les contres-exemples se trouvent facilement).
Mais en fait vous avez quand même répondu à ma question,par l'affirmative :
"Il faut et il suffit que la dérivée de Darboux de M appartienne à h pour que M elle-même appartienne à H."

Est-ce que vous auriez une référence pour la preuve ? Si je ne me trompe pas, l'intégration de cette dérivée de Darboux est en générale une exponentielle "path-ordonnée", mais je n'arrive pas à voir pourquoi une telle exponentielle reste dans H.

Merci.

PS : ça n'a pas de rapport mais est-ce normal que je n'arrive pas à afficher de caractères mathfrak avec le latex du forum ?

[Médiat]

Bonjour,

[TEX]\mathfrak{A}[/TEX] donne ] ce qui ne correspond pas à la police mathfrak usuelle

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bonjour,

La preuve de l'énoncé n'est pas tout à fait évidente sur le plan technique, bien qu'elle soit moralement plausible comme vous l'avez souligné. C'est surtout la partie « intégration » qui est subtile, car la dérivation prend certainement des courbes de H pour les envoyer dans h.

Un premier pas est déjà de savoir comment intégrer une fonction constante dans h, ce qui correspond à l'application exponentielle. L'exponentielle est naturelle, en ce sens (par exemple) que si un groupe de Lie H est plongé dans un groupe de Lie G, alors l'exponentielle « abstraite » de h vers H s'identifie à l'exponentielle « concrète » provenant de la restriction à h (vue comme sous-algèbre de g) de l'exponentielle de g vers G. John M. Lee démontre cela dans les derniers chapitres de son livre Introduction to Smooth Manifolds.

L'intégration d'une courbe générale de h ne me semble pas bien plus ardu, mais je rate peut-être un aspect technique. L'application exponentielle de g vers G identifie un voisinage de 0 dans h avec un voisinage de e dans H et donc, dans ce voisinage, l'intégration des courbes dans h doit donner des courbes dans H, puisque c'est le cas en voyant h et H de manière abstraite. Si la courbe intégrée s'apprête à sortir du voisinage, on utilise la multiplication à droite pour déplacer le voisinage et le centrer sur l'extrémité de la courbe et on continue ainsi.

Une approche plus nette, peut-être moins visuelle que celle que j'ai esquissée, mais certainement équivalente, est donnée au chapitre 3 du livre de R. Sharpe Differential Geometry : Cartan's generalization of Klein's Erlangen Program. On y présente un théorème de Cartan qui utilise la translation à gauche (ici, nous utiliserons la translation à droite) sur h afin d'avoir une distribution de k-plans sur G. En raison des propriétés des exponentielles (et c'est essentiellement l'idée exposée au paragraphe précédent), H est une feuille de cette distribution : par translation à droite, on sait donc que la distribution est intégrable au sens de Frobenius. La courbe dans M induit un champ vectoriel variable dans le temps compris dans cette distribution. Un champ vectoriel s'intègre toujours et le flot doit obligatoirement préserver la distribution : en particulier, le chemin intégral à travers e doit rester sur la feuille de la distribution passant par e, à savoir H.

Dans tout ceci, il convient peut-être de rappeler ce qu'est la dérivée de Darboux. Si est un chemin, alors . La différentielle TM se souvient donc de M, mais connaît aussi explicitement les « premières variations » de M. Si on veut oublier la fonction M, on peut utiliser la forme de Maurer-Cartan (à droite) : pour tout ramener à l'identité e de G. Si G est un groupe linéaire, alors cette forme correspond à . En particulier, la composition est la dérivée de Darboux de M. On voit donc que pour intégrer la dérivée de Darboux, il faut « s'éloigner », « quitter » l'identité e, d'où l'intérêt de multiplier à droite h afin de « contre-balancer » le « » de la dérivée de Darboux. Ça explique l'approche de Cartan.

[silk78]

Merci beaucoup pour cette réponse très complète. Je pense avoir compris la première approche : considérer le plus petit t auquel la courbe sort de H (s'il existe), se placer dans un voisinage de M(t) sur lequel l'exponentielle puis la translation à droite permet de "remonter" de h à H (par Cartan von-Neumann), faire "remonter" la courbe sur h vers ce voisinage dans H et obtenir une contradiction avec le fait que M sort de H à t. Est-ce bien l'idée ? Je suis pas sur de comprendre exactement comment l'exponentielle permet localement de passer à la courbe intégrale sur H (il faut que je relises votre réponse) mais le reste, je crois que ça va.
Pour tout avouer, la 2ème approche dépasse mes compétences en géo diff, je ne connais pas les notions de feuilles de distributions ou d'intégrabilité au sens de Frobenius.

[Universus]

Merci beaucoup pour cette réponse très complète. Je pense avoir compris la première approche : considérer le plus petit t auquel la courbe sort de H (s'il existe), se placer dans un voisinage de M(t) sur lequel l'exponentielle puis la translation à droite permet de "remonter" de h à H (par Cartan von-Neumann), faire "remonter" la courbe sur h vers ce voisinage dans H et obtenir une contradiction avec le fait que M sort de H à t. Est-ce bien l'idée ? Je suis pas sur de comprendre exactement comment l'exponentielle permet localement de passer à la courbe intégrale sur H (il faut que je relises votre réponse) mais le reste, je crois que ça va.

Ça me semble bon. Je peux étoffer ce que je disais cependant.

Je tiens pour acquis que vous connaissez la propriété suivante de l'exponentielle : l'application est bien définie et est un difféomorphisme local.

Je tiens aussi pour acquis que vous connaissez ce résultat : soient G et H deux groupes de Lie et un homomorphisme lisse, alors la différentielle est un morphisme d'algèbres de Lie.

La naturalité de l'application exponentielle s'exprime (si vous avez une certaine connaissance du langage des catégories, cette égalité signifie que l'exponentielle est une transformation naturelle entre le foncteur et le foncteur ). Ce résultat est démontré tant dans le Lee que dans le Sharpe (et dans bien d'autres références).

Ainsi, si F est un plongement (de sorte que H s'interprète comme un sous-groupe de G), cette égalité implique qu'il n'y a pas de différence entre et . Par la première propriété que je prenais pour acquise, nous savons que est un difféomorphisme local entre h et H. Donc l'est tout autant. Ceci prouve qu'il y a une petite boule centrée en 0 qui est envoyée, par , de manière difféomorphe sur un ouvert de l'identité e et que est envoyée de manière difféomorphe sur (la composante connexe contenant e de) (F étant un plongement, pour U suffisamment petit, il n'y a qu'une seule composante connexe).

Si c est un chemin dans h, alors c s'intègre facilement dans h en un chemin d (c'est un espace vectoriel après tout). Via l'exponentielle, d est envoyée sur un chemin D qui fait partie de H, du moins localement : correspond à . À un moment t où D(t) est proche du bord de V, nous pouvons considérer U(t) = U.D(t) qui est centrée en D(t) et certainement difféomorphe à V. Techniquement, il vaut mieux procéder à l'envers : considérer pour s > t le chemin , qui est dans U. Il faut effectuer un automorphisme correspondant pour h, mais bon... Au final, ce que cela signifie, c'est que le chemin d peut être recouverts par des boules qui sont, à l'aide de l'exponentielle et de translations à droite, difféomorphes à des boules recouvrant D. Dans chacune de ces boules, la portion de h qui y est comprise correspond à la portion de H comprise dans les boules images. Donc jamais on ne quitte le groupe H.

Moralement, ceci montre que travailler abstraitement dans les relations entre h et H ou travailler concrètement en les voyant à l'intérieur de g et de G n'importe pas.

[silk78]

Je pense avoir compris (même si ça s'avère bien plus abstrait que ce à quoi je m'attendais), merci pour les détails.