Bonjour j'ai un exo sur les barycentres et je ne vois pas du tout ce qu'il faut faire .
Merci de bien vouloir m'aider.
EXO : Le point M est intérieur (strictement) au triangle ABC; (AM) coupe [BC] en P, (BM) coupe [CA] en Q et (CM) coupe [AB] en R.
Montrer que M est intérieur (strictement) au triangle PQR.
J'ai essayé avec du CHasles (comme je n'aime pas trop les barycentres) mais ça n'a pas marché.
Pas de Chasles ici à mon avis.
M étant strictement intérieur au triangle ABC, il est barycentre du système {(A,a),(B,b),(C,c)}, avec a,b et c positifs stricts.
Tu as donc déjà la relation habituelle :
En faisant le barycentre partiel sur le système {(A,a),(P,b+c)} tu obtiens cette relation :
Je te laisse vérifier le détail du calcul, j'ai très bien pu faire une erreur avec mon dessin.
Après tu fais encore du barycentre partiel sur deux autres systèmes (à toi de les trouver, ça ressemble fort à ce qui est au-dessus, pour t'aider, fais un dessin, ça aide en géométrie). Tout ceci te donne 4 relations : tu les additionnes.
Tu as une combinaison vectorielle égale au vecteur nul. Regroupe bien les termes pour faire apparaitre la première relation (celle du début) qui a le bon goût de s'en aller (pourquoi ? je te laisse y réfléchir).
Tu obtiens alors une combinaison vectorielle en fonction des points P, Q et R, affectés de coefficients strictements positifs (donc de somme non nulle ... ). Tu en déduits que M apparait comme le barycentre d'un certain système ... les coefficients étant strictement positif le barycentre est intérieur.
Je t'ai laissé quelques détails à combler, mais tu as déjà l'essentiel à mon avis.
Il peut y avoir plus simple : j'ai pas cherché plus loin.
Bon courage.
++
je pense que je vais y arriver .
Bonjour,
être intérieur s'exprime par le fait que les trois coefficients auront même signe (on peut prendre positif)
Le but est de trouver les coefficients de M pour les trois points P, Q et R. et constater que ces coefficients sont tous trois positifs si les premeirs le sont.
P est un barycentre de B et C (trouver des coefficients, ce n'est pas dur, c'est même peut-être du cours)
Q est un barycentre de A et C, R est ...
On peut trouver une relation du type
a. AM+ p PM=0 (en vecteurs)
et deux autres similaires.
En faisant attention, on trouve comment obtenir une relation ne faisant intervenir que PM, QM et RM (en vecteurs).
