somme des signatures des dérangements de [1,n]

[invite551b9de0]

Bonjour

Lors d'un exercice j'ai établi une formule qui me semble intéressante:

Elle concerne la somme des signatures des dérangements de [1,n] et s'écrit de cette façon:

daum_equation_1433358388806.png où daum_equation_1433358775736.png (ensembles des dérangements de [1,n]

Je ne sais pas si ce résultat a déjà été préalablement établi, je voulais juste me renseigner sur une quelconque utilité et j’espère que ce résultat sera utile à d'autre!
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[invite551b9de0]

Des avis ?

[Seirios]

Bonsoir,

Il y a quelque chose que je ne suis pas sûr de comprendre : Un dérangement est donc une bijection sans point fixe, et tu notes l'ensemble des dérangements de . Dans la somme, si , les termes et vont se simplifier, de sorte qu'il ne restera plus que la somme des où ; mais dans ce cas , donc la somme ne devrait-elle pas être positive ?

[invite551b9de0]

Non je ne pense pas :
La signature d une permutation et celle de son inverse ne sont pas nécessairement de signe opposé :
(1 2 3)^-1 = (1 3 2 )

Les deux permutations ont la même signature.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c458887]

C'est un résultats facile à obtenir, c'est le déterminant de M = J - I avec J une matrice de 1.
En effet :

Le produit vaut 1 si la permutation est un dérangement, et 0 sinon.
Le déterminant se calcule facilement en faisant la somme sur les ligne, factorisant par (n-1), puis avec la multilinéarité et le développement on trouve très facilement la formule :



Soit au final par simplification :

[Médiat]

Le déterminant se calcule facilement en faisant la somme sur les ligne, factorisant par (n-1), puis

en soustrayant la ligne de 1 à toutes les lignes on obtient une matrice triangulaire dont le déterminant est facile à calculer.

[invite551b9de0]

Oui c est comme ça que j avais fait. Le résultat avait déjà été établi ?

[Médiat]

Mon fils l'a eu en kolle la semaine dernière

[invite551b9de0]

OK ^^ vu que je ne trouvais rien sur internet , je ne savais pas si c était connu .

[Seirios]

Non je ne pense pas :
La signature d une permutation et celle de son inverse ne sont pas nécessairement de signe opposé :
(1 2 3)^-1 = (1 3 2 )

Oui, absolument, je ne sais pas ce qui m'est passé par la tête...

[invited3a27037]

>> Mon fils l'a eu en kolle la semaine dernière

dur dur sauf si le prof demande d'abord le calcul du déterminant de M=J-I puis d'en déduire la somme des signatures des déplacements

[Médiat]

J'ai aussi trouvé ça : http://www.les-mathematiques.net/pho...705322,quote=1