Matrices, valeurs propres et matrice semblable

[invite1bf22c0f]

Bonjour,

Voici une partie d'un exercice que j'ai du mal à réalisé:

Soit telles que

Avec I la matrice d'identité d'ordre de 2 et 0² la matrice nulle d'ordre 2

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Après avoir déterminé les valeurs propres et sous espaces vectoriels d'une matrice M définie appartenant à A, on me demande de considérer une matrice M quelconque appartenant à A et de montrer que si est une valeur propre de M alors

J'ai essayé de résoudre l'exercice en posant mais cela me semble très fastidieux.
N'y a t-il pas de solution plus simple ? En utilisant la définition de A peut-être ? Si oui, je ne vois tout de même pas comment en déduire les valeurs propres de M.
Ou alors faut-il uniquement prouver que lorsque ?

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Plus loin dans l'exercice, on nous demande de considérer le cas où seul -1 est une valeur propre de M.
Il faut alors montrer que M quelconque est semblable à la matrice N :



Je sais que montrer qu'une matrice est semblable à une autre revient à prouver qu'il existe une matrice P inversible telle que:

M=PNP^-1

Mais n'y a-t-il pas de solution plus simple ici ?
Notamment car N est une matrice triangulaire de valeur propre -1 ?



Merci d'avance pour vos réponses !
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[gg0]

Bonjour.

Il y a effectivement une méthode avec la définition. prends un vecteur propre associé à la valeur propre . Puis tu calcules .

Cordialement.

[invite1bf22c0f]

Merci gg0 pour ta réponse !

Mais étant donné que:

Quelque soit associé à ,

?

Dans ce cas, n'importe quelle valeur propre pourrait appartenir à la matrice M ?

[gg0]

Oui, ça fait le vecteur nul, mais aussi ça donne un calcul que tu n'as pas fait. Donc tu auras une certaine expression en fonction de V qui sera nulle.
On appelle ça "utiliser l'hypothèse".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1bf22c0f]

En écrivant :

,

et en utilisant définit précédemment à l'aide d'une matrice dont l'un des sous-espaces propres est

Puis-je utiliser ce vecteur ici ?

Si oui, j'obtiens:



Est-ce là le calcul qu'il faut effectuer ?
Sinon, quel est le calcul que je dois réaliser ?

Merci d'avance !

[gg0]

Pourquoi vouloir remplacer la matrice par son expression avec des coefficients inconnus ? Le but du calcul direct est d'éviter ça ! Le calcul est facile car on sait combien vaut MV.

rappel : pour A et B matrices et V vecteur, (AB)V=A(BV)

[invite1bf22c0f]

Merci gg0 !

Alors en suivant tes conseils et en utilisant la définition d'un vecteur propre associé à une valeur propre d'une matrice M:



Et en utilisant les données de l'énoncé, je pose:



En considérant V non nul, alors on a bien pour une matrice M quelconque de A:

Ce qu'il fallait justement démontrer.

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Si quelqu'un pouvait m'aider aussi à comprendre cette seconde partie, je le remercie d'avance :

Plus loin dans l'exercice, on nous demande de considérer le cas où seul -1 est une valeur propre de M.
Il faut alors montrer que M quelconque est semblable à la matrice N :



Je sais que montrer qu'une matrice est semblable à une autre revient à prouver qu'il existe une matrice P inversible telle que:

M=PNP^-1

Mais n'y a-t-il pas de solution plus simple ici ?
Notamment car N est une matrice triangulaire de valeur propre -1 ?

[gg0]

Comme -1 est valeur propre, il existe un vecteur non nul V tel que MV=-V. On complète {V} en une base {V,W} de . Quelle est la matrice de l'application linéaire associée à M dans cette base ?

Cordialement.

[invite1bf22c0f]

Merci !
Voici le début de mon raisonnement d'après tes indications

Soit tel que MV=-1V

On engraisse la famille V par un vecteur W (ex: ) telles que la famille (V,W) soit libre et génératrice de donc une base de que l'on note .

- A partir de là, je commence à me poser des questions sur mon raisonnement -

Notons f l'application (je suis pas tout à fait sûr d'avoir le droit de faire ça).

Pour déterminer la matrice f associée à M dans cette base, je bloque.

Si quelqu'un pouvait m'aider à poursuivre, je le remercie d'avance.

[gg0]

Bien plus simple :

f(V)=V=1V+0W
f(W)=aV+bW (quelles que soient les valeurs de W, a et b)
Donc la matrice de f est ...

[gg0]

Attention, f est une application de dans , dont la matrice dans la base canonique est M.

A noter : Même si -2 est aussi valeur propre, on a cette situation.

[invite1bf22c0f]

Merci gg0!

J'ai bien compris comment obtenir la matrice associée à f.

Par contre pour obtenir , ne devrait on pas avoir f(V)=-1V+0W ?

[gg0]

Oui, j'ai oublié le signe de lambda : f(V)=(-1)V=(-1)V+0W.

[invite1bf22c0f]

Merci gg0 !