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matrices stochastiques et valeurs propres



  1. #1
    Padille

    matrices stochastiques et valeurs propres


    ------

    bonjour
    voici la ou je coince :
    soit n un entier superieur ou egal a 3, on considere l endomorphisme f de R^n dont la matrice dans la base canonique B de R^n est M= m[i,j]
    avec m[i,i] = 0 (termes diagonaux nuls) pour tout i et j de [[1.n]]
    m{i,j] = 1/(n-1) pour i different de j
    determiner les valeurs propres de f ainsi que les sous espaces propres associe
    bon je sais deja que le vecteur (1 1 ... 1) est vecteur propre associe a la valeur propre 1, mais je n arrive pas a en trouver d autres (s il y en a )
    merci de votre aide

    ps ; on demontre dans la suite du probleme que si lambda appartient au spectre de f alors son module est inferieur ou egal a 1

    -----
    « Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. » Euclide de Mégare

  2. Publicité
  3. #2
    FonKy-

    Re : matrices stochastiques et valeurs propres

    déja si tu prend ton determiannt ou tu as tes -X a la place des 0, si tu remplace par 1/(1-n), ce déterminant vaudra 0, je te laisse conclure

  4. #3
    Padille

    Re : matrices stochastiques et valeurs propres

    et sans utiliser de determinant comment on peut s y prendre ??
    « Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. » Euclide de Mégare

  5. #4
    Garf

    Re : matrices stochastiques et valeurs propres

    Ecris la matrice (M+1/(n-1).I), où I est la matrice identité... Quel est son rang ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    FonKy-

    Re : matrices stochastiques et valeurs propres

    garf tu triche tu sais que c'est un classique ca donc tu donne la solution direct (joke)

  8. #6
    Padille

    Re : matrices stochastiques et valeurs propres

    c est bon j avais remarque qu en faisant la on obtenait
    on a rg (M + 1/(n+1)) = 1 <= n donc -1/(n+1) est valeur propre de M avec dim Ker(f + 1/n+1) = n-1
    plus 1 valeur propres d ordre 1
    les deux sous espaces propres sont en somme directe, donc la matrice M est diagonalisable, c est bon ???
    « Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. » Euclide de Mégare

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  10. #7
    Padille

    Re : matrices stochastiques et valeurs propres

    toujours penser au rans de la matrice (m-lambdaI) ca peut etre tres utile !!! merci garf de m y avoir fait repenser (ca s oublie avec les vacances ...)
    « Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. » Euclide de Mégare

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