matrices stochastiques et valeurs propres

[inviteae72e011]

bonjour
voici la ou je coince :
soit n un entier superieur ou egal a 3, on considere l endomorphisme f de R^n dont la matrice dans la base canonique B de R^n est M= m[i,j]
avec m[i,i] = 0 (termes diagonaux nuls) pour tout i et j de [[1.n]]
m{i,j] = 1/(n-1) pour i different de j
determiner les valeurs propres de f ainsi que les sous espaces propres associe
bon je sais deja que le vecteur (1 1 ... 1) est vecteur propre associe a la valeur propre 1, mais je n arrive pas a en trouver d autres (s il y en a )
merci de votre aide

ps ; on demontre dans la suite du probleme que si lambda appartient au spectre de f alors son module est inferieur ou egal a 1
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[FonKy-]

déja si tu prend ton determiannt ou tu as tes -X a la place des 0, si tu remplace par 1/(1-n), ce déterminant vaudra 0, je te laisse conclure

[inviteae72e011]

et sans utiliser de determinant comment on peut s y prendre ??

[invitea07f6506]

Ecris la matrice (M+1/(n-1).I), où I est la matrice identité... Quel est son rang ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[FonKy-]

garf tu triche tu sais que c'est un classique ca donc tu donne la solution direct (joke)

[inviteae72e011]

c est bon j avais remarque qu en faisant la on obtenait
on a rg (M + 1/(n+1)) = 1 <= n donc -1/(n+1) est valeur propre de M avec dim Ker(f + 1/n+1) = n-1
plus 1 valeur propres d ordre 1
les deux sous espaces propres sont en somme directe, donc la matrice M est diagonalisable, c est bon ???

[inviteae72e011]

toujours penser au rans de la matrice (m-lambdaI) ca peut etre tres utile !!! merci garf de m y avoir fait repenser (ca s oublie avec les vacances ...)