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Valeurs propres



  1. #1
    tifoonoukoi

    Valeurs propres


    ------

    Bonjour,

    J'aurais besoin d'un petit coup de main. Est-ce que quelqu'un pourrait si possible m'expliquer (avec un exemple) comment calculer les valeurs propres d'une matrice?

    Merci d'avance!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Haazheel

    Re : Valeurs propres

    Bonsoir,

    Bon n'ayant pas LaTeX, je vais t'expliquer ça de manière rustique à l'ancienne

    Tu considères ta matrice A appartenant à Mn(IR).

    Tu cherches son polynôme caractéristique, c'est à dire:

    p(X) = det(A-X.Id)

    avec:
    - Id la matrice identité de dimension n*n
    - det(..) le déterminant

    Tu résouds p(X) = 0, tu trouves les différentes valeurs de X et l'ensemble des solutions correspondront au spectre de ta matrice (c'est à dire à l'ensemble des valeurs propres).


    Pour un exemple:

    Tu prends une matrice 3x3:

    A = [[6,5,5][5,6,5][5,5,6]]

    P(A) = det(A-X.Id) = (1-X)²(16-X) (après simplification)

    Donc tu auras une valeur propre 1 de multiplicité 2, et une valeur propre 16 de multiplicité 1.

    Si tu veux plus de détails n'hésites pas.
    . 2+2 = 5 . (1984)

  4. #3
    tifoonoukoi

    Re : Valeurs propres

    Merci pour votre réponse!

    Mais ce que je ne comprends pas, c'est ça:
    Citation Envoyé par Haazheel Voir le message
    P(A) = det(A-X.Id) = (1-X)²(16-X) (après simplification)
    Quel est le calcul détaillé de det(A-X.Id)? Il faut calculer le déterminant de la matrice [[6-X,5,5][5,6-X,5][5,5,6-X]]? Pour le déterminant, j'utilise une méthode en diagonale (diagonale dans un sens - diagonale dans un autre sens en gros)...

  5. #4
    MiMoiMolette

    Re : Valeurs propres

    Salut,

    Il faut calculer le déterminant de la matrice [[6-X,5,5][5,6-X,5][5,5,6-X]]?
    Ouaip !

    Peu importe ta méthode de calcul du discriminant, il faut juste que tu trouves les racines du polynôme
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Haazheel

    Re : Valeurs propres

    Disons que tu as deux méthodes 'générales' pour le calculer.
    La méthode dite 'bourine' ou la méthode 'raffinée'

    La première consiste à développer tout simplement ton déterminant, ce qui est synonyme d'erreurs de chiffre, de signes etc... Donc généralement on utilise pas celle-ci.

    La deuxième, la raffinée, consiste à utiliser la méthode du pivot de Gauss il me semble. En clair tu essayes de simplifier les lignes avec les lignes et les colonnes avec les colonnes.

    Exemple dans le cas du déterminant de matrice que je t'ai donné:

    Tu fais:

    C1 <- C1-C2

    Tu obtiens:

    P(X) = det([[1-X,5,5,][-1+X,6-X,5][0,5,6-X]])

    = (1-X)*det([[1,5,5,][-1,6-X,5][0,5,6-X]])

    L2 <- L1+L2

    P(X) = (1-X)*det([[1,5,5,][0,11-X,10][0,5,6-X]])

    P(X) = (1-X)*det([[11-X,10][5,6-X]])

    P(X) = (1-X)(X²-17X+16)

    P(X) = (1-X)²(16-X)

    Bon voilà là je t'ai tout développé au maximum

    Edit:

    Citation Envoyé par Haazheel Voir le message
    P(A) = det(A-X.Id) = (1-X)²(16-X) (après simplification)
    Grosse erreur de ma part, c'est P(X) = det(A-X.Id) = (1-X)²(16-X) et non pas P(A)...
    Car ici P(A) = 0 (Calley-Hamilton excès de zèle )
    Dernière modification par Haazheel ; 03/05/2008 à 15h30.
    . 2+2 = 5 . (1984)

  8. #6
    tifoonoukoi

    Re : Valeurs propres

    Nikel, merci beaucoup pour votre aide!

  9. Publicité
  10. #7
    tifoonoukoi

    Re : Valeurs propres

    Ah, j'ai une autre petite question: Est-ce que la méthode "en diagonale" pour calculer le déterminant d'une matrice fonctionne avec toutes les matrices (même les 5*5 par ex.)?

  11. #8
    Dagobah

    Re : Valeurs propres

    Non seulement avec les matrices de dimension au plus 3. (PS : c'est la méthode de Sarrus)

  12. #9
    tifoonoukoi

    Re : Valeurs propres

    Aie, quel est le nom de l'autre technique alors (pour des matrices plus grandes)?

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