Valeurs propres

[inviteebe3e869]

Bonjour,

J'aurais besoin d'un petit coup de main. Est-ce que quelqu'un pourrait si possible m'expliquer (avec un exemple) comment calculer les valeurs propres d'une matrice?

Merci d'avance!
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[invite3482538a]

Bonsoir,

Bon n'ayant pas LaTeX, je vais t'expliquer ça de manière rustique à l'ancienne

Tu considères ta matrice A appartenant à Mn(IR).

Tu cherches son polynôme caractéristique, c'est à dire:

p(X) = det(A-X.Id)

avec:
- Id la matrice identité de dimension n*n
- det(..) le déterminant

Tu résouds p(X) = 0, tu trouves les différentes valeurs de X et l'ensemble des solutions correspondront au spectre de ta matrice (c'est à dire à l'ensemble des valeurs propres).


Pour un exemple:

Tu prends une matrice 3x3:

A = [[6,5,5][5,6,5][5,5,6]]

P(A) = det(A-X.Id) = (1-X)²(16-X) (après simplification)

Donc tu auras une valeur propre 1 de multiplicité 2, et une valeur propre 16 de multiplicité 1.

Si tu veux plus de détails n'hésites pas.

[inviteebe3e869]

Merci pour votre réponse!

Mais ce que je ne comprends pas, c'est ça:

P(A) = det(A-X.Id) = (1-X)²(16-X) (après simplification)

Quel est le calcul détaillé de det(A-X.Id)? Il faut calculer le déterminant de la matrice [[6-X,5,5][5,6-X,5][5,5,6-X]]? Pour le déterminant, j'utilise une méthode en diagonale (diagonale dans un sens - diagonale dans un autre sens en gros)...

[invite1237a629]

Salut,

Il faut calculer le déterminant de la matrice [[6-X,5,5][5,6-X,5][5,5,6-X]]?

Ouaip !

Peu importe ta méthode de calcul du discriminant, il faut juste que tu trouves les racines du polynôme

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3482538a]

Disons que tu as deux méthodes 'générales' pour le calculer.
La méthode dite 'bourine' ou la méthode 'raffinée'

La première consiste à développer tout simplement ton déterminant, ce qui est synonyme d'erreurs de chiffre, de signes etc... Donc généralement on utilise pas celle-ci.

La deuxième, la raffinée, consiste à utiliser la méthode du pivot de Gauss il me semble. En clair tu essayes de simplifier les lignes avec les lignes et les colonnes avec les colonnes.

Exemple dans le cas du déterminant de matrice que je t'ai donné:

Tu fais:

C1 <- C1-C2

Tu obtiens:

P(X) = det([[1-X,5,5,][-1+X,6-X,5][0,5,6-X]])

= (1-X)*det([[1,5,5,][-1,6-X,5][0,5,6-X]])

L2 <- L1+L2

P(X) = (1-X)*det([[1,5,5,][0,11-X,10][0,5,6-X]])

P(X) = (1-X)*det([[11-X,10][5,6-X]])

P(X) = (1-X)(X²-17X+16)

P(X) = (1-X)²(16-X)

Bon voilà là je t'ai tout développé au maximum

Edit:

P(A) = det(A-X.Id) = (1-X)²(16-X) (après simplification)

Grosse erreur de ma part, c'est P(X) = det(A-X.Id) = (1-X)²(16-X) et non pas P(A)...
Car ici P(A) = 0 (Calley-Hamilton excès de zèle )

[inviteebe3e869]

Nikel, merci beaucoup pour votre aide!

[inviteebe3e869]

Ah, j'ai une autre petite question: Est-ce que la méthode "en diagonale" pour calculer le déterminant d'une matrice fonctionne avec toutes les matrices (même les 5*5 par ex.)?

[invitef29681d8]

Non seulement avec les matrices de dimension au plus 3. (PS : c'est la méthode de Sarrus)

[inviteebe3e869]

Aie, quel est le nom de l'autre technique alors (pour des matrices plus grandes)?