Valeurs propres des matrices de O(4)

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je sais que toute matrice de et de admet 1 comme valeur propre, mais qu'en est-il pour ?

Est-ce qu'une matrice de admet nécessairement 1 comme valeur propre ?

Je pense que c'est le cas, mais je ne vois pas comment le prouver. Quelqu'un aurait une idée ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Romain-des-Bois]

Salut,

ce que tu notes , c'est bien les matrices orthogonales de taille ?

Si on prend , alors ses valeurs propres sont .

[Thorin]

Bonjour à tous,

Je sais que toute matrice de et de admet 1 comme valeur propre, mais qu'en est-il pour ?

Est-ce qu'une matrice de admet nécessairement 1 comme valeur propre ?

Je pense que c'est le cas, mais je ne vois pas comment le prouver. Quelqu'un aurait une idée ?

Merci d'avance,
Phys2

Salut,
tu peux montrer par un raisonnement simple (analogue à celui qui dit que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles) que les valeurs propres sont de module 1, mais pas nécessairement égales à 1.

[Seirios]

En fait je voulais parler de SO(4)...On sait que SO(3) admet nécessairement 1 comme valeur propre, mais qu'en est-il de SO(4) ?

(Je me place dans )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Re,

la matrice "" n'admet que -1 comme valeur propre, mais appartient à
Mais comme je le disais précédemment, il reste vrai que toute valeur propre d'une telle matrice est de module 1

[Seirios]

la matrice "" n'admet que -1 comme valeur propre, mais appartient à

Pourtant simple comme contre-exemple...Merci.

Mais comme je le disais précédemment, il reste vrai que toute valeur propre d'une telle matrice est de module 1

Oui, j'ai déjà croisé cette propriété.

[Thorin]

En continuant de réfléchir à ce sujet, j'ai une propriété supplémentaire qui me semble vrai :
pour tout n impair, pour tout matrice M de taille n*n appartenant à , 1 est valeur propre de M
Si jamais ça t'intéresse...
(la flemme d'écrire la démo si ça intéresse personne^^)

[Seirios]

Je suis intéressé Si tu veux, tu peux n'écrire que les grandes lignes du raisonnement.

[Thorin]

J'avais fait mentalement, donc j'espère qu'une erreur de raisonnement ne se révèlera pas quand j'écrirais

Soit donc n un entier impair et A une matrice de .

-Alors, les valeurs propres de A sont les racines du polynôme caractéristique , comme n est impair, est de degré impair et est de plus à coefficients réels.

-On sait que les valeurs propres de A sont de module 1 (car et ), ses valeurs propres réelles ne peuvent donc être que -1 et 1, donc les racines réelles de ne peuvent être que -1 ou 1.

-(par définition de A). l'étude de la fonction polynomiale associée à nous donne donc, puisque son coefficient dominant est -1 (car n est impair), que s'annule au moins une fois sur (car la fonction tend vers -l'infini en +l'infini).

-Finalement, 1 est racine du polynôme caractéristique donc valeur propre de A.

On comprend alors pourquoi ca ne marche pas pour : un polynôme de degré pair ne s'annule pas forcément sur R
Plus généralement, on montre donc de même que "soit A matrice de avec n impair, -1 ou 1 est valeur propre de A"

[Seirios]

Merci bien