[MATLAB] Transformée de Fourier

[invite3230945a]

Bonjour à vous !

Je rencontre en ce moment un problème : j'ai une série de mesures de volume, extraites depuis Abaqus, à des instants donnés. Je possède donc un vecteur volume et un vecteur temps. J'aimerai calculer le spectre du signal et donc tracer la transformée de Fourier du signal. Cependant, l'intervalle de temps entre 2 mesures n'étant pas constant, je ne dispose pas d'une fréquence d'échantillonage constante ...

Est-il possible de calculer la transformée de Fourier discrète d'un signal pour lequel le pas de temps n'est pas constant ?

PS : je pourrai imposer un pas de temps constant mais cela ralentirait grandement ma simulation.

Par avance, merci
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[invite757adee6]

oui et non.

le principe du théorème de Shannon avec la transformée de Fourier à temps discret (pas de temps constant) en général c'est que si une fonction est à bande limitée (sa transformée de Fourier est nulle pour ) alors si on échantillonne la fonction avec un pas supérieur à alors on ne perd aucune information : la transformée de Fourier de la suite sera la transformée de Fourier de la fonction étirée par d'un facteur 'p' le pas d'échantillonnage et périodisée de période 1.

et en fait il dit ce théorème de Shannon que pour retrouver la fonction à partir du signal échantillonné il suffit de faire où est un filtre passe bas idéal (pour ) et qui coupe à la fréquence (si par exemple donc est assez grand pas rapport au pas minimum, alors un filtre passe bas de Hanning convient car il est à peu près idéal sur la moitié de sa bande passante, aux erreurs numériques près)

avec un pas d'échantillonnage qui varie, en fait le même théorème s'applique du moment que le plus grand pas d'échantillonnage est inférieur à . dans ce cas, la reconstruction de la fonction se fait comme avant mais en prenant en compte le pas d'échantillonnage variable : il faut s'assurer que si pour tout alors (avec le coefficient qui indique "le pas d'échantillonnage local au sample ") .

dans ce cas, puisqu'on peut reconstruire la fonction, on peut également retrouver sa TF : en faisant où indique à quel correspond le -ème sample.

comment on justifie qu'avec un pas d'échantillonnage variable on n'a pas de perte d'information dès que la fonction respecte le théorème de Shannon ? en découpant la fonction en petits bouts avec des fenêtres genre Hanning... et en montrant que si aliasing il y a, c'est dans les fréquences plus hautes que 1/2a.

mais attention, on n'a pas d'indication directement des coefficients (qui indiquent le pas d'échantillonnage local) : il faut réfléchir un peu pour les trouver, et dans certains cas ça peut même donner lieu à une inversion de matrice.

en fait la vraie question c'est : pourquoi veux-tu faire ça exactement ?
tu sais qu'il existe un algorithme simple pour passer d'un échantillonnage variable à un échantillonnage constant ? ça s'appelle l'interpolation trigonométrique et c'est important comme concept et c'est très général à la transformée de Fourier discrète : c'est le point de vue qui voit la TF comme "l'interpolation passant pas des points d'énergie (norme L2) de la dérivée minimale"


bonne chance.